4.1 指数与指数函数(题型精讲精练）-【题型分类精粹】2023-2024学年高一数学上学期期中期末复习讲练系列【考点闯关】（人教A版2019）

4.1 指数与指数函数 1. 理解根式和分数指数幂的含义，并且能进行两者之间的互化. 2. 掌握根式的性质，并能运用根式的运算性质进行根式的运算. 3. 掌握实数指数幂的运算性质，学会化简较复杂的运算式子. 4. 了解指数函数，掌握指数函数的形式 5. 及条件，会根据底数区分两类函数. 6. 掌握指数函数的图象与性质，能根据指数函数的性质进行方程、不等式的求解，比较大小，及函数的单调区间的求解、会求与指数函数相关的函数的定义域、值域. 7. 能解决与指数函数有关的综合性问题. 4.1 指数与指数函数 1 一、主干知识 2 考点1：根式 2 考点2：分数指数幂 2 考点3：指数幂的运算性质 2 考点4：指数函数及其性质 2 【常用结论归纳】 3 二、分类题型 4 题型一 指数及其相关运算 4 命题点1　指数与指数幂的运算 4 命题点2　根式的化简求值 5 命题点3　分数指数幂与根式的互化 5 命题点4　指数幂的化简求值 5 题型二 指数函数的概念 6 命题点1　指数函数的判定与求值 6 命题点2　求指数函数的解析式 7 题型三 指数函数的图像与性质 7 命题点1　指数函数图像 7 命题点2　指数函数图像过定点问题 8 命题点3　求指数（型）函数的定义域 8 命题点4　求指数型复合函数定义域 9 命题点5　求指数型函数在区间内的值域 9 命题点6　求指数型复合函数在区间内的值域 9 命题点7　判断指数型函数的单调性 10 命题点8　比较指数幂的大小 11 命题点9　指数型函数的最值问题 11 命题点10　指数函数最值与不等式综合问题 12 命题点11　指数函数综合运用 12 三、分层训练：课堂知识巩固 13 一、主干知识 考点1：根式 (1)如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*. (2)式子叫做根式，其中n叫做根指数，a叫做被开方数． (3)()n＝a.当n为奇数时，＝a，当n为偶数时，＝|a|＝ 考点2：分数指数幂 正数的正分数指数幂，＝(a>0，m，n∈N*，n>1)． 正数的负分数指数幂，＝＝(a>0，m，n∈N*，n>1)． 0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义． 考点3：指数幂的运算性质 aras＝ar＋s；(ar)s＝ars；(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r，s∈R)． 考点4：指数函数及其性质 (1)概念：函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，函数的定义域是R，a是底数． (2)指数函数的图象与性质 a>1 0<a<1 图象 定义域 R 值域 (0，＋∞) 性质 过定点(0,1)，即x＝0时，y＝1 当x>0时，y>1； 当x<0时， 0<y<1 当x<0时，y>1； 当x>0时， 0<y<1 在(－∞，＋∞)上是增函数 在(－∞，＋∞)上是减函数 【常用结论归纳】 1、指数函数单调性的讨论：一般会以复合函数的形式出现，所以要分开讨论，首先讨论a的取值范围即a＞1，0＜a＜1的情况．再讨论g（x）的增减，然后遵循同增、同减即为增，一减一增即为减的原则进行判断． 2、同增同减的规律： （1）y＝ax 如果a＞1，则函数单调递增； （2）如果0＜a＜1，则函数单调递减． 3、复合函数的单调性： （1）复合函数为两个增函数复合：那么随着自变量X的增大，Y值也在不断的增大； （2）复合函数为两个减函数的复合：那么随着内层函数自变量X的增大，内层函数的Y值就在不断的减小，而内层函数的Y值就是整个复合函数的自变量X．因此，即当内层函数自变量X的增大时，内层函数的Y值就在不断的减小，即整个复合函数的自变量X不断减小，又因为外层函数也为减函数，所以整个复合函数的Y值就在增大．因此可得“同增”若复合函数为一增一减两个函数复合：内层函数为增函数，则若随着内层函数自变量X的增大，内层函数的Y值也在不断的增大，即整个复合函数的自变量X不断增大，又因为外层函数为减函数，所以整个复合函数的Y值就在减小．反之亦然，因此可得“异减”． 二、分类题型 题型一 指数及其相关运算 命题点1　指数与指数幂的运算 【例题精析1】 求下列各式的值： (1)；(2)；(3)；(4)． 【例题精析2】 已知，求下列各式的值： (1)；(2)；(3)；(4) 【例题精析3】 化简（式中的字母均为正实数）： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)； (7)； (8)． 【例题精析4】 （1）计算：； （2）已知，求的值. 【例题精析5】 计算下列各式（式中字母都是正数）： (1)； (2)． 【例题精析6】 化简下列各式： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【例题精析7】 求值： (1)； (2)； (3