圆锥曲线综合压轴之离心率问题讲义-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

离心率问题 1. 椭圆离心率 2. 双曲线离心率 3. 常用二级结论：设圆锥曲线C的焦点F在x轴上，过点F且斜率为k的直线l交曲线C于A、B两点，若，则，设直线倾斜角为，则有.特别地，对于抛物线有 · 经典举例 例1：已知椭圆C：的左右焦点分别为F1，F2，点A是椭圆上一点，线段AF1的垂直平分线与椭圆的一个交点为B，若，则椭圆C的离心率为（　　） A． B． C． D． 解：如上左图，得A、F2、B共线，得，设BF2=m，则AF2=2m,，AB=3m,故BF1=3m,BF1+BF2=4m，得AF1=2m，AF1=AF2,故A为上顶点或下顶点.如上右图，作BD⊥x轴得BD=，DF2=即B()，代入椭圆方程得，选B 点评：画出草图，利用向量关系、垂直平分线、椭圆的性质得到点A处于特殊位置，利用相似得到点B坐标，进而得到离心率. 例2：已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，P为椭圆上不与左、右顶点重合的任意一点，I，G分别为△PF1F2的内心和重心，当IG⊥x轴时，椭圆的离心率为（　　） A． B． C． D． 解：设P(x0,y0)，重心G()，同时得得I()，在PDI中，PD2+DI2=PI2，即有得又得得，故选A 点评：明显此题对同学们的基本功底有一定的要求，例如重心坐标公式、三角形内切圆半径的求解. 例3：已知椭圆C1：与双曲线C2：有相同的焦点F1，F2，点P是两曲线在第一象限的交点，且在上的投影等于||，e1，e2分别是椭圆C1和双曲线C2的离心率，则9e12+e22的最小值是（　　） A．4 B．6 C．8 D．16 解：在上的投影等于||，可知PF1⊥PF2于是即有，同时两边同时平方得两式相加得，于是，当且仅当即时成立，故选C 例4：已知F1、F2分别为双曲线的左、右焦点，O为坐标原点，以原点为圆心，|OF1|为半径的圆与双曲线左支的一个交点为P，若PF1与双曲线右支有交点，则双曲线的离心率的取值范围为（　　） A． B． C． D． 解：如图，设双曲线方程为，圆的方程为，联立得P(),PF1与双曲线右支有交点，则,即有，整理可得，故，选A. · 精选好题 1．已知双曲线（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，P是双曲线上一点，△PF1F2是以F1P为底边的等腰三角形，且则该双曲线的离心率的取值范围是（　　） A．（1，2） B． C． D． 2．已知双曲线（a＞0，b＞0）的右焦点为F，过点F且斜率为k（k≠0）的直线l交双曲线于A、B两点，线段AB的中垂线交x轴于点D．若，则双曲线的离心率取值范围是（　　） A． B． C． D． 3．设O为坐标原点，F1，F2为双曲线（a＞0，b＞0）的两个焦点，l1，l2为双曲线的两条渐近线，F1A垂直l1于A，F1A的延长线交l2于B，若|OA|+|OB|＝2|AB|，则双曲线的离心率为（　　） A． B． C． D． 4．已知F1，F2是椭圆与双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且F1P＞F2P，线段F1P的垂直平分线过F2.若椭圆的离心率为e1，双曲线的离心率为e2，则的最小值为（　　） A． B．3 C．6 D． 5．已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的右焦点为F，若以OF（O为坐标原点）为直径的圆被双曲线C的一条渐近线所截得的弦长等于双曲线C的虚轴长，则双曲线C的离心率为（　　） A． B． C． D．2 6．已知F1、F2分别是双曲线C：（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过点F1向一条渐近线作垂线，交双曲线右支于点P，直线F2P与y轴交于点Q（P，Q在轴同侧），连接QF1，若△PQF1的内切圆圆心恰好落在以F1F2为直径的圆上，则双曲线的离心率为（　　） A． B． C． D．2 7．已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0），过点F1的直线l（斜率存在）交双曲线C的渐近线于A，B两点，若|F2A|＝|F2B|，＝（表示△AF1F2，△BF1F2的面积），则双曲线C的离心率为（　　） A． B． C． D． 8．已知双曲线C：（a＞0，b＞0），若双曲线不存在以点（2a，a）为中点的弦，则双曲线离心率e的取值范围是（　　） A．(1， B． C． D． 9．设椭圆C：的右焦点为F，椭圆C上的两点A、B关于原点对称，且满足，|FB|≤|FA|≤2|FB|，则椭圆C的离心率的取值范围是（　　） A． B． C. D. 10．已知直线y＝kx（k≠0）与双曲线（a＞0，b＞0）交于A，B两点，以AB为直径的圆恰好经过双曲线的右焦点F，若△ABF的面积为4a2，则双曲线的离心率为（　　） A． B． C．2 D．