第二十四章 圆的切线证明专题专练-【专题突破】2023-2024学年九年级数学上册重难点培优及章末梳理与检测（人教版）

第二十四章 圆的切线证明专题讲练 一、见半径，证垂直 1. 如图，在中，，以为直径作，过点作交于，． 求证：是的切线． 2. 如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O外一点，连接OC交⊙O于点D，连接BD并延长交线段AC于点E，∠CDE＝∠CAD．判断AC与⊙O的位置关系，并证明你的结论； 二、连半径，证垂直 3. 如图，AB是⊙O的直径，E为⊙O上的一点，∠ABE的平分线交⊙O于点C，过点C的直线交BA的延长线于点P，交BE的延长线于点D．且∠PCA＝∠CBD．求证：PC为⊙O的切线； 4. 如图，是的内接三角形，是的直径，点是的中点，交的延长线于点． （1）求证：直线与相切； （2）若的直径是10，，求的长． 5. 如图，以AB为直径作，在上取一点C，延长AB至点D，连接DC，，过点A作交DC的延长线于点E． (1)求证：CD是的切线； (2)若，，求AE的长． 6. 如图是的直径，是的弦，延长到点C，使．过D点作于E，求证：为的切线. 7. 如图，在中，点是边上一点，以为直径的半圆经过点，点是弦上一点，过点作，垂足为，交的延长线于点，且． 求证：直线与半圆相切； 三、作垂直，证半径 8. 如图，OA＝OB＝13cm，AB＝24cm，⊙O的直径为10cm．求证：AB是⊙O的切线． 9. 如图，点为正方形对角线上一点，以为圆心，的长为半径的与相切于点． (1)求证：与相切； (2)若的半径为，求正方形的边长． 10. 如图，在四边形中，，，以为直径作， 求证：与相切．    11. 如图，在正方形中，E是边上一点，若，以为直径作半圆．    (1)求证：与相切； (2)若正方形的边长为4，求图中阴影部分的面积． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二十四章 圆的切线证明专题讲练 一、见半径，证垂直 1. 如图，在中，，以为直径作，过点作交于，． 求证：是的切线． 【答案】证明见解析 【分析】根据平行线及三角形内角和定理可求得，又是的直径，根据切线的定义可得结论 【详解】证明：， ． ， ． ． ． 是的直径， 是的切线． 【点睛】本题考查了圆的切线的证明、平行线及三角形的内角和定理的应用，熟练掌握各知识点并利用数形结合的思想进行合理转化是解决本题的关键 2. 如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O外一点，连接OC交⊙O于点D，连接BD并延长交线段AC于点E，∠CDE＝∠CAD．判断AC与⊙O的位置关系，并证明你的结论； 【答案】 答：AC与⊙O相切， 证明：∵AC是⊙O的直径， ∴∠ADB=90°， ∴∠BAD+∠B=90°， ∵OB=OD， ∴∠B=∠ODB， ∵∠ODB=∠CDE，∠CDE=∠CAD， ∴∠B=∠CAD， ∴∠BAC=∠BAD+∠CAD=∠B+∠BAD=90°， ∴BA⊥AC， ∴AC与⊙O相切； 二、连半径，证垂直 3. 如图，AB是⊙O的直径，E为⊙O上的一点，∠ABE的平分线交⊙O于点C，过点C的直线交BA的延长线于点P，交BE的延长线于点D．且∠PCA＝∠CBD．求证：PC为⊙O的切线； 【详解】（1）证明：连接OC， ∵BC平分∠ABE， ∴∠ABC = ∠CBD， ∵OC=OB， ∴∠ABC = ∠OCB， ∵∠PCA= ∠CBD， ∴∠PCA= ∠OCB， ∵AB是直径， ∴∠ACB = 90°， ∴∠ACO+∠OCB= 90°， ∴∠PCA+∠ ACO= 90°， ∴∠PCO = 90°， ∴OC⊥PC， ∵OC是半径， ∴PC是OO的切线； 4. 如图，是的内接三角形，是的直径，点是的中点，交的延长线于点． （1）求证：直线与相切； （2）若的直径是10，，求的长． 【答案】（1）见解析；（2）． 【分析】（1）连接OD，由点D是的中点得OD⊥BC，由DE//BC得OD⊥DE，由OD是半径可得DE是切线； （2）证明△ODE是等腰直角三角形，可求出OE的长，从而可求得结论． 【详解】解：（1）连接OD交BC于点F，如图， ∵点是的中点， ∴OD⊥BC， ∵DE//BC ∴OD⊥DE ∵OD是的半径 ∴直线与相切； （2）∵AC是的直径，且AB=10, ∴∠ABC=90°， ∵OD⊥BC ∴∠OFC=90° ∴OD//AB ∴ ∵ ∴ ∴ 由勾股定理得， ∴． 【点睛】此题主要考查了切线的判定与性质的综合运用，熟练掌握切线的判定与性质是解答此题的关键． 5. 如图，以AB为直径作，在上取一点C，延长AB至点D，连接DC，，过点A作交DC的延长线于点E． (1)求证：CD是的切线； (2)若，，求AE的长． 【答案】(1)见解析 (2)AE＝6 【分析】（1）连接OC，根据圆周角定理的推论得到∠ACB＝90°，即∠