第二十四章 与圆有关的计算专题专练-【专题突破】2023-2024学年九年级数学上册重难点培优及章末梳理与检测（人教版）

第二十四章 与圆有关的计算专题讲练 目录 一、圆中的角度计算和证明 二、圆中求线段的长 三、圆中弧长的计算 四、圆中阴影面积的求法 一、圆中的角度计算和证明 例1 如图，CD是⊙O的直径，点A在DC的延长线上，∠A=20°，AE交⊙O于点B，且AB=OC． ​     （1）求∠AOB的度数 （2）求∠EOD的度数 例2 如图，C是⊙O上一点，点P在直径AB的延长线上，PC是⊙O的切线，PB=2，PC=4． (1)求⊙O的半径长； (2)求∠BOC与∠BCP的数量关系，并说明理由． 二、圆中求线段的长 例3 如图，中，，点O在AC上，以OA为半径的半圆O分别交AB，AC于点D，E，过点D作半圆O的切线DF，交BC于点F． (1)求证：； (2)若，，求BF的长． 例4 如图，是的直径，，都是上的点，且平分，过点作的垂线交的延长线于点，交的延长线于点．    (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 三、圆中弧长的计算 例5 如图，直角坐标系中一条圆弧经过网格点，，． (1)该圆弧所在圆的圆心坐标为______． (2)求弧ABC的长． 例6 如图，四边形ABCD是正方形，以边AB为直径作⊙O，点E在BC边上，连接AE交⊙O于点F，连接BF并延长交CD于点G． (1)求证：； (2)若，，求劣弧BF的长．（结果保留π） 四、圆中阴影面积的求法 1.和差法：把不规则图形的面积转化为几个规则图形的面积的和与差进行计算。 例7 如图，在中，，，，以点A为圆心，AC的长为半径画弧，交AB于点D，交AC于点C，以点B为圆心，AC的长为半径画弧，交AB于点E，交BC于点F，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 例8 如图，中，，以A为圆心，长为半径画弧，交于点E，以B为圆心，长为半径画弧，交于点D．则图中阴影部分的面积为（　　）    A． B． C． D． 2.等积法：两个等底等高的三角形的面积相等，因此可以利用图形中面积相等的部分，将不规则的图形面积转化为规则图形的面积进行计算。 例9 如图，点A是半径为2的外一点，，是的切线，B为切点，弦，连接AC，则图中阴影部分的面积为（    ）    A．2 B．2π C．3 D． 例10 如图，AB是⊙O的直径，C为半径OA的中点，CD⊥AB交⊙O于点D，E，DFAB交⊙O于点F，连接AF，AD． (1)求∠DAF的度数； (2)若AB＝10，求阴影部分的面积．（结果保留π） 3.割补法：先把不规则图形分割，再运用平移、旋转、轴对称等方法，将不规则图形的面积转化为规则图形的面积进行计算。 例11 如图．在中，，，，以点为圆心，的长为半径画弧交于点，交于点，以点为圆心，的长为半径画弧，交于点，交弧于点，则图中阴影部分的面积为 ．    例12 如图，正方形的边长为2，O为对角线的交点，点E，F分别为的中点．以C为圆心，2为半径作圆弧，再分别以E，F为圆心，1为半径作圆弧，则图中阴影部分的面积为 ．    例13 如图，在扇形中，，，为的中点，连接与交于点，过点作交于点，则阴影部分的面积为 ．         原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二十四章 与圆有关的计算专题讲练 目录 一、圆中的角度计算和证明 二、圆中求线段的长 三、圆中弧长的计算 四、圆中阴影面积的求法 一、圆中的角度计算和证明 例1 如图，CD是⊙O的直径，点A在DC的延长线上，∠A=20°，AE交⊙O于点B，且AB=OC． ​     （1）求∠AOB的度数 （2）求∠EOD的度数 【答案】（1）20°；（2）60°． 【分析】（1）由AB=BO，则∠AOB=∠1=∠A=20°； （2）∠1=∠E，因此∠EOD=3∠A，即可求出∠EOD． 【详解】（1）连OB，如图， ∵AB=OC，OB=OC， ∴AB=BO， ∴∠AOB=∠1=∠A=20° （2）解： ∵∠2=∠A+∠1， ∴∠2=2∠A， ∵OB=OE， ∴∠2=∠E， ∴∠E=2∠A， ∴∠DOE=∠A+∠E=3∠A=60°． 【点睛】本题考查了圆的认识，等腰三角形的性质和三角形外角定理，解题的关键是能从图形中发现每个角之间的关系． 例2 如图，C是⊙O上一点，点P在直径AB的延长线上，PC是⊙O的切线，PB=2，PC=4． (1)求⊙O的半径长； (2)求∠BOC与∠BCP的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)3 (2)∠BOC=2∠BCP，理由见解析 【分析】(1)根据切线的性质得到OC⊥PC，设OB=OC=R，在Rt△POC中，根据勾股定理得到R2+42=(R+2)2，解方程即可求出⊙O的半径长； (2)由切线性质得到