专题12 双曲线的几何性质8种常见考法归类-【考点通关】2023-2024学年高二数学高频考点与解题策略(苏教版2019选择性必修第一册)

专题12 双曲线的几何性质8种常见考法归类 1．双曲线的几何性质 标准方程 －＝1(a＞0，b＞0) －＝1(a＞0，b＞0) 图形 性质 范围 x≥a或x≤－a y≤－a或y≥a 对称性 对称轴：坐标轴，对称中心：原点 顶点 (－a,0)，(a,0) (0，－a)，(0，a) 轴长 实轴长＝2a，虚轴长＝2b 实半轴长＝a，虚半轴长＝b 离心率 e＝>1 渐近线 y＝±x y＝±x 2.双曲线的中心和等轴双曲线 (1)双曲线的中心 双曲线的对称中心叫作双曲线的中心． (2)等轴双曲线 实轴和虚轴等长的双曲线叫作等轴双曲线，其离心率e＝. 注意点： (1)等轴双曲线的离心率为，渐近线方程为y＝±x. (2)双曲线的渐近线方程要注意焦点所在轴的位置． (3)焦点到渐近线的距离为b. (4)利用渐近线可以较准确的画双曲线的草图． (5)双曲线上的点到焦点的最小值为c－a. 3.双曲线的离心率 (1)定义 焦距与实轴长的比叫作双曲线的离心率，记为e.由a2＋b2＝c2，可得e＝＝. (2)范围 由c>a>0可知双曲线的离心率e>1. (3)几何意义 由等式c2＝a2＋b2，得＝＝＝. 因此e越大，也越大，即渐近线y＝±x的斜率的绝对值越大，这时双曲线的开口就越大，因此离心率e可以用来表示双曲线开口的程度． 4.双曲线的渐近线 经过点、作y轴的平行线，经过点、作x轴的平行线，四条直线围成一个矩形（如图），矩形的两条对角线所在直线的方程是． 我们把直线叫做双曲线的渐近线；双曲线与它的渐近线无限接近，但永不相交． 5.由双曲线的方程研究几何性质的解题步骤 (1)把双曲线方程化为标准形式． (2)由标准方程确定焦点位置，确定a，b的值． (3)由c2＝a2＋b2求出c的值，从而写出双曲线的几何性质． 提醒：求性质时一定要注意焦点的位置． 6.由几何性质求双曲线标准方程的解题思路 由双曲线的几何性质求双曲线的标准方程，一般用待定系数法．当双曲线的焦点不明确时，方程可能有两种形式，此时应注意分类讨论，为了避免讨论，也可设双曲线的方程为mx2－ny2＝1(mn＞0)． 7.双曲线的渐近线 （1）已知双曲线方程求渐近线方程： 若双曲线方程为，则其渐近线方程为 已知双曲线方程，将双曲线方程中的“常数”换成“0”，然后因式分解即得渐近线方程． （2）已知渐近线方程求双曲线方程： 若双曲线渐近线方程为，则可设双曲线方程为，根据已知条件，求出即可． （3）与双曲线有公共渐近线的双曲线 与双曲线有公共渐近线的双曲线方程可设为（，焦点在轴上，，焦点在y轴上） （4）等轴双曲线的渐近线 等轴双曲线的两条渐近线互相垂直，为，因此等轴双曲线可设为． 8.求双曲线离心率的方法 (1)若可求得a，c，则直接利用e＝得解． (2)若已知a，b，可直接利用e＝得解． (3)若得到的是关于a，c的齐次方程pc2＋qac＋ra2＝0(p，q，r为常数，且p≠0)，则转化为关于e的方程pe2＋qe＋r＝0求解． 9.求离心率范围的方法 （1）建立不等式法： ①利用曲线的范围建立不等关系． ②利用线段长度的大小建立不等关系．，为双曲线的左、右焦点，为双曲线上的任一点，． ③利用角度长度的大小建立不等关系． ④利用题目不等关系建立不等关系． ⑤利用判别式建立不等关系． ⑥利用与双曲线渐近线的斜率比较建立不等关系． ⑦利用基本不等式，建立不等关系． （2）函数法： ①根据题设条件，如曲线的定义、等量关系等条件建立离心率和其他一个变量的函数关系式； ②通过确定函数的定义域； ③利用函数求值域的方法求解离心率的范围． （3）坐标法： 由条件求出坐标代入曲线方程建立等量关系． 10.双曲线中，，的几何意义及有关线段的几何特征： 双曲线标准方程中，、、三个量的大小与坐标系无关，是由双曲线本身的形状大小所确定的，分别表示双曲线的实半轴长、虚半轴长和半焦距长，均为正数，且三个量的大小关系为：，，且． 双曲线，如图： （1）实轴长，虚轴长，焦距， （2）离心率：； （3）顶点到焦点的距离：，； （4）中结合定义与余弦定理，将有关线段、、和角结合起来． （5）与焦点三角形有关的计算问题时，常考虑到用双曲线的定义及余弦定理（或勾股定理）、三角形面积公式相结合的方法进行计算与解题，将有关线段、、，有关角结合起来，建立、之间的关系． 11.直线与双曲线的位置关系判断 将双曲线方程与直线方程联立消去 得到关于的一元二次方程， （1）当，即时，直线 与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线只有一个交点； （2）当，即时，设该一元二次方程的判别式为， 若，直线与双曲线相交，有两个公共点； 若，直线与双曲线相切，有一个公共点； 若，直线与双曲线相离，没