13.4课题学习 最短路径问题 课件 2023—2024学年人教版数学八年级上册

13.4 课题学习 最短路径问题 复习引入 1.轴对称的性质：对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。 2.垂直平分线：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线 段的垂直平分线。 3垂直平分线的性质：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做 这条线段的垂直平分线。 4.如图，连接A、俩点的所有连线中，哪条最短？为什么？ ②最短，因为两点之间，线段最短。 ② 5.如图，点P是直线外一点，点P与该直线1上各点连接的所有线段中， 哪条最短？为什么？ PC最短，因为垂线段最短。 A B C 6.在我们前面的学习中，还有哪些涉及比较线段大小的基本事实？ 三角形三边关系：两边之和大于第三边； 斜边大于直角边。 7.如图，如何做点A关于直线的对称点？ AB C D “两点的所有连线中，线段最短”“连接直线外一点与直线上各点的 所有线段中，垂线段最短”等的问题，我们称之为最短路径问题。 现实生活中经常涉及到选择最短路径问题，今天我们一起利用数学知识探究 数学史的著名的“牧马人饮马问题”、“造桥选址问题”，解决一些实际问 题。 讲授新课 探究点1.相传，古希腊有一位久负盛名的学者，名叫海伦.有一天， 位将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题：从图中的A地出 发，到一条笔直的河边饮马，然后到B地.到河边什么地方饮马可使他 所走的路线全程最短？我们能帮助这位将军解决这个问题吗？ 首先，我们怎么把这个 问题变成数学问题？ 抽象成 C 实际问题 数学问题 数学问题：在直线I上求作一点C,使AC+BC最短问题。 问题1现在假设点A,B分别是直线异侧的两个点，如何在1上找到一个 点，使得这个点到点A,点B的距离的和最短？ 连接AB,与直线相交于一点C 根据是“两点之间，线段最短”， 可知这个交点即为所求。 B 问题2 如果点A,B分别是直线同侧的两个点，又应该如何解决？ 想一想：对于问题2，如何将点B“ 移”到1的另一侧B'处，满足直线L 上的任意一点C,都保持CB与CB'的 长度相等，这样就变成了问题1的形 式？ 利用轴对称，作出点B关于直线的对称点B'。 作法： (1)作点B关于直线1的对称点B'; (2)连接AB',与直线l相交于点C。 则点C即为所求. B 问题3 你能用所学的知识证明AC+BC最短吗？ 证明：如图，在直线上任取一点C'(与点C不重合)，连 接AC,BC',B'C。 由轴对称的性质知： BC=B'C,BC'=B'C'。 ∴.AC+BCAC+B′C=AB′， .AC'+BC′=AC'+B'C'。 在△AB'C'中， B' AB'<AC +B'C, ∴.AC+BC<AC+BC', 即AC+BC最短。 探究点2：造桥选址问题 如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN.桥造在 何处可使从A到B的路径AMNB最短（假定河的两岸是平行的直线，桥要 与河垂直)？ a M 抽象成数学问题 数学问题：如图，假定任选位置造桥MN,连接AM和BN,从A到B的路径是 AM+MN+BN,那么怎样确定什么情况下最短呢？