第17期 15.4 角的平分线-【数理报】2023-2024学年八年级上册数学学案（沪科安徽专版）

书 如图１，已知 ∠ＡＯＢ，要求作此角的平分线，不巧的 是你手头上没有圆规，只有三角板或无刻度的直尺，你 能利用现有的工具解决这个问题吗？下面就此介绍几种 方法，供同学们参考． 一、利用三角板作角平分线 作法：如图２，（１）在∠ＡＯＢ的两边上分别截取ＯＭ ＝ＯＮ（如都等于三角板斜边的长）； （２）分别用三角板过点 Ｍ，Ｎ作 ＯＡ，ＯＢ的垂线，并 交于点Ｐ； （３）作射线ＯＰ，则射线ＯＰ即为∠ＡＯＢ的平分线． 理由：因为ＯＭ ＝ＯＮ，ＯＰ＝ＯＰ，所以Ｒｔ△ＯＰＭ≌ Ｒｔ△ＯＰＮ（ＨＬ）．所以∠ＰＯＭ＝∠ＰＯＮ，即ＯＰ为∠ＡＯＢ 的平分线． 二、利用无刻度的直尺作角平分线 作法：如图３，（１）把直尺的一边 放在∠ＡＯＢ的一边ＯＡ上，使直角顶 点与点Ｏ重合，沿直尺的另一边画直 线ＭＮ； （２）再把直尺的一边放在∠ＡＯＢ的另一边 ＯＢ上， 使直角顶点与点Ｏ重合，沿直尺的另一边画直线ＲＱ，与 直线ＭＮ交于点Ｐ； （３）作射线ＯＰ，则射线ＯＰ即为∠ＡＯＢ的平分线． 理由：作ＰＣ⊥ＯＡ于点Ｃ，ＰＤ⊥ＯＢ于点Ｄ，则ＰＣ和 ＰＤ的长均等于直尺的宽度，所以ＰＣ＝ＰＤ．所以点Ｐ在 ∠ＡＯＢ的平分线上，即ＯＰ为∠ＡＯＢ的平分线． 小明采用图４所示 的方法作 ∠ＡＯＢ的平 分线ＯＣ：将带刻度的直 角尺 ＤＥＭＮ按图摆放， 使ＥＭ边与ＯＢ边重合， 点Ｄ落在ＯＡ边上并标记出点Ｄ的位置，量出ＯＤ的长， 再重新放置直角尺，在ＤＮ边上截取ＤＰ＝ＯＤ，过点Ｐ画 射线ＯＣ，则ＯＣ平分∠ＡＯＢ．请判断小明的做法是否可 行？并说明理由． 书 三、１３．因为 ＤＥ∥ ＦＣ， 所 以 ∠ＢＣＧ ＝ ∠ＤＢＣ＝４５°． 因 为 ∠ＡＣＧ ＝ １０°， 所 以 ∠ＡＣＢ ＝ ∠ＢＣＧ－∠ＡＣＧ＝３５°． 因为ＡＢ＝ＡＣ， 所 以 ∠ＡＢＣ ＝ ∠ＡＣＢ＝３５°． 所 以 ∠ＡＢＥ ＝ １８０°－∠ＤＢＣ－∠ＡＢＣ ＝１００°． １４．过点Ｐ作ＰＣ⊥ ＡＢ于点Ｃ，图略． 因为∠ＰＡＢ＝９０° －７５°＝１５°，∠ＰＢＣ＝ ９０°－６０°＝３０°， 所 以 ∠ＡＰＢ ＝ ∠ＰＢＣ－∠ＰＡＢ＝１５° ＝∠ＰＡＢ． 所以ＰＢ＝ＡＢ＝２０ ×２＝４０（海里）． 在直角 △ＰＢＣ中， ＰＣ＝ １２ＰＢ＝２０海里 ＜２２海里． 所以若轮船仍向前 航行，有触礁的危险． １５．△ＤＣＥ是等边 三角形．理由如下： 因为△ＡＢＣ是等边 三角形， 所以 ＡＣ ＝ ＢＣ， ∠ＡＣＢ＝６０°． 在 △ＡＤＣ 和 △ＢＥＣ 中， 因 为 ＡＣ＝ＢＣ， ∠ＣＡＤ＝∠ＣＢＥ， ＡＤ＝ＢＥ { ， 所 以 △ＡＤＣ ≌ △ＢＥＣ（ＳＡＳ）． !"# !$"%&'( 书 角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的 距离相等． 角平分线的判定定理：角的内部到角两边距离相等 的点在角的平分线上． 一、求点到直线的距离 例１　 如图 １，在 △ＡＢＣ中， ∠Ｃ＝９０°．若ＡＣ＝９，ＤＣ＝１３ＡＣ， ＢＤ平分∠ＡＢＣ，则点Ｄ到ＡＢ的距 离等于 （　　） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ．４ Ｂ．３ Ｃ．２ Ｄ．１ 解：过点Ｄ作ＤＨ⊥ＡＢ于点Ｈ，如图１． 因为ＡＣ＝９，ＤＣ＝ １３ＡＣ， 所以ＤＣ＝３． 因为ＢＤ平分∠ＡＢＣ，∠Ｃ＝９０°，ＤＨ⊥ＡＢ， 所以ＣＤ＝ＤＨ＝３，即点Ｄ到ＡＢ的距离等于３． 故选Ｂ． 二、求三角形的面积 例２　 如图２，已知在四边 形ＡＢＣＤ中，ＤＥ⊥ ＢＣ，ＢＤ平分 ∠ＡＢＣ，ＡＢ ＝ ６，ＤＥ ＝ ４，则 △ＡＢＤ的面积是 （　　） Ａ．２４ 　　　Ｂ．１８ Ｃ．１２ 　　　Ｄ．６ 解：过点Ｄ作ＤＦ⊥ＡＢ交ＢＡ的延长线于点Ｆ，如图 ２． 又因为ＢＤ平分∠ＡＢＣ，ＤＥ⊥ＢＣ， 所以ＤＥ＝ＤＦ＝４． 因为ＡＢ＝６， 所以Ｓ△ＡＢＤ ＝ １ ２ＡＢ·ＤＦ＝１２． 故选Ｃ． 三、说明面积之间的数量关系 例３　如图３，在△ＡＢＣ中， ∠ＣＡＢ和∠ＣＢＡ的平分线交于 点Ｐ，连接ＰＣ．若△ＰＡＢ，△ＰＢＣ， △ＰＡＣ的面积分别为 Ｓ１，Ｓ２，Ｓ３， 则 （　　） Ａ．Ｓ１ ＜Ｓ２＋Ｓ３ Ｂ．Ｓ１ ＝Ｓ２＋Ｓ３ Ｃ．Ｓ１ ＞Ｓ２＋Ｓ３ Ｄ．无法确定Ｓ１与Ｓ２＋Ｓ３的大小 解：过点Ｐ分别作ＰＤ⊥ＡＢ于点Ｄ，ＰＥ⊥ＡＣ于点Ｅ， ＰＦ⊥ＢＣ于点Ｆ，如图３． 因为∠ＣＡＢ和∠ＣＢＡ的平分线交于点Ｐ， 所以ＰＤ＝ＰＥ＝ＰＦ． 因为Ｓ２ ＝ １ ２ＢＣ·ＰＦ，Ｓ３ ＝ １ ２ＡＣ·ＰＥ， 所以Ｓ２＋Ｓ３ ＝ １ ２（ＡＣ＋ＢＣ）·ＰＤ． 因为Ｓ１ ＝ １ ２ＡＢ·ＰＤ，ＡＢ＜ＡＣ＋ＢＣ， 所以Ｓ１ ＜Ｓ２＋Ｓ３． 故选Ａ． 四、求角度 例４　 如图４，ＡＣ，ＢＤ是四 边形 ＡＢＣＤ的对角线，ＢＤ平分 ∠ＡＢＣ，２∠ＡＣＤ ＝ ∠ＡＢＣ ＋ ∠ＢＡＣ．已知 ∠ＣＡＤ ＝４３°，则 ∠ＢＤＣ＝ ． 解：过点Ｄ分别作Ｄ