第16期 15.3 等腰三角形-【数理报】2023-2024学年八年级上册数学学案（沪科安徽专版）

书 上期２版 １５．１轴对称图形 １５．１．１轴对称 基础训练　１．Ａ；　２．Ｃ；　３．①②③；　４．４． ５．（１）因为△ＡＢＣ中点Ａ，Ｂ，Ｃ关于直线ＭＮ的对 称点分别为点Ａ′，Ｂ′，Ｃ′，ＡＣ＝８ｃｍ， 所以ＢＣ＝Ｂ′Ｃ′，Ａ′Ｃ′＝ＡＣ＝８ｃｍ． 因为Ａ′Ｃ＝１２ｃｍ， 所以△Ａ′Ｂ′Ｃ′的周长为：Ａ′Ｂ′＋Ｂ′Ｃ′＋Ａ′Ｃ′＝Ａ′Ｃ ＋ＡＣ＝１２＋８＝２０（ｃｍ）． （２）图略． 根据轴对称的性质，得∠Ａ′＝∠Ａ＝９０°． 所以△Ａ′ＣＣ′的面积为：１２Ａ′Ｃ·Ａ′Ｃ′＝４８ｃｍ ２． ６．（１）因为△ＡＣＥ和△ＡＤＥ关于直线ＡＥ对称， 所以△ＡＣＦ和△ＡＤＦ关于直线ＡＥ对称． 所以∠ＡＣＤ＝∠ＡＤＣ． 因为∠ＣＡＢ＝３６°， 所以∠ＡＤＣ＝ １２（１８０°－∠ＣＡＢ）＝７２°． （２）因为∠ＣＡＢ＝３６°，∠Ｂ＝４８°， 所以∠ＡＣＢ＝１８０°－∠Ｂ－∠ＣＡＢ＝９６°． 因为△ＡＣＥ和△ＡＤＥ关于直线ＡＥ对称， 所以∠ＡＤＥ＝∠ＡＣＥ＝９６°． 所以∠ＤＥＢ＝∠ＡＤＥ－∠Ｂ＝４８°． １５．１．２画轴对称图形 基础训练　１．Ｂ；　２．Ｂ；　３．（－６－ｍ，ｎ）． ４．图略． ５．（１）图略，Ａ１（－１，－３），Ｂ１（２，０），Ｃ１（－３，１）． （２）Ｓ△ＡＢＣ ＝４×５－ １ ２×２×４－ １ ２×５×１－ １ ２ ×３×３＝９． ６．（１）（３，２）． （２）点Ａ，Ｂ沿ｘ轴翻折后的对应点的坐标分别为 Ｃ（－１，－１），Ｄ（－４，－１）． 点Ｃ，Ｄ沿直线 ｍ翻折后的对应点的坐标分别为 （３，－１），（６，－１）． 所以点Ａ，Ｂ的 ＜ｘ轴，ｍ＞伴随图形点Ａ′，Ｂ′的坐 标分别为（３，－１），（６，－１）． １５．２线段的垂直平分线 基础训练　１．Ｃ；　２．Ｄ；　３．１４． ４．图略． ５．设ＰＡ交直线ｌ于点Ｃ，连接ＢＣ，图略． 因为直线ｌ是线段ＡＢ的垂直平分线， 所以ＣＡ＝ＣＢ． 所以ＰＡ＝ＣＡ＋ＣＰ＝ＣＢ＋ＣＰ＞ＰＢ． ６．连接ＯＡ，ＯＣ，图略． 因为ＯＥ，ＯＦ分别是ＡＣ，ＢＤ的垂直平分线， 所以ＯＡ＝ＯＣ，ＯＢ＝ＯＤ，∠ＤＦＯ＝９０°． 在△ＡＢＯ和△ＣＤＯ中，因为 ＡＢ＝ＣＤ， ＯＡ＝ＯＣ， ＯＢ＝ＯＤ { ， 所以△ＡＢＯ≌△ＣＤＯ（ＳＳＳ）． 所以∠ＡＢＯ＝∠ＣＤＯ＝７９°． 因为∠ＣＤＢ＝３８°， 所以∠ＯＤＦ＝∠ＣＤＯ－∠ＣＤＢ＝４１°． 所以∠ＤＯＦ＝９０°－∠ＯＤＦ＝４９°． !"# !$"%&'( 书 一、忽视分类讨论 例１　已知等腰三角形的一个外角为１３０°，则它的 顶角的度数为 ． 错解：等腰三角形的一个外角等于１３０°，则这个等 腰三角形的顶角为：１８０°－１３０°＝５０°． 故填５０°． 剖析：已知没有指明此外角的邻补角是顶角还是底 角，所以应分两种情况进行分类讨论． 正解：等腰三角形的一个外角等于１３０°，则这个等 腰三角形的一个内角为：１８０°－１３０°＝５０°． （１）当５０°为顶角时，其他两角为６５°，６５°； （２）当５０°为底角时，其他两角为５０°，８０°． 综上所述，等腰三角形的顶角为５０°或８０°． 故填５０°或８０°． 例２　在△ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ，ＡＢ边上的垂线与ＡＣ 所在直线相交所得的锐角为５０°，则∠Ｂ＝ ． 错解：如图 １，因为 ∠ＡＤＥ ＝ ５０°，∠ＡＥＤ＝９０°，所以∠Ａ＝９０°－ ∠ＡＥＤ＝４０°． 因为ＡＢ＝ＡＣ，所以 ∠Ｂ＝∠Ｃ ＝ １２×（１８０°－∠Ａ）＝７０°． 故填７０°． 剖析：本题没有图，△ＡＢＣ可能是锐角三角形，也可 能是钝角三角形，故应分情况讨论． 正解：（１）当△ＡＢＣ是锐角三角形时，同错解； （２）如图２，当△ＡＢＣ为钝 角三角形时，因为∠ＡＤＥ＝５０°， ∠ＡＥＤ＝９０°，所以 ∠ＢＡＣ ＝ ∠ＡＤＥ＋∠ＡＥＤ＝１４０°． 所以 ∠Ｂ＝∠Ｃ＝ １２ × （１８０°－∠ＢＡＣ）＝２０°． 故填７０°或２０°． 二、错用等腰三角形的性质 例３　如图３，在 △ＡＢＣ中，ＡＢ＝ ＡＣ，Ｏ是△ＡＢＣ内一点，且ＯＢ＝ＯＣ．求 证：ＡＯ⊥ＢＣ． 错证：如图３，延长 ＡＯ交 ＢＣ于点 Ｄ．由ＯＢ＝ＯＣ，ＯＤ平分∠ＢＯＣ，根据等 腰三角形“三线合一”的性质可得 ＡＯ ⊥ＢＣ． 剖析：在遇到等腰三角形问题时，一些同学往往会 把非特殊线段看成特殊线段，如本例中的ＯＤ，已知中没 有说明它是角平分线，仅仅根据图形便断定它是角平分 线，导致错误． 证明：因为ＡＢ＝ＡＣ，所以点Ａ在线段ＢＣ的垂直平 分线上． 因为ＯＢ＝ＯＣ，所以点Ｏ在线段ＢＣ的垂直平分线上． 所以ＡＯ⊥ＢＣ． 书 “在直角三角形中，如果一个锐角等于３０°，那么它所 对的直角边等于斜边的一半”，这是解含３０°角的直角三 角形中线段问题的常用定理．这个定理可以将特殊直角 三角形中的角度关系转化