第13期 14.2 三角形全等的判定（HL）-【数理报】2023-2024学年八年级上册数学学案（沪科安徽专版）

书 “ＨＬ”是一种特殊的判定三角形全等的方法，尽管 它只能在直角三角形中施展拳脚，但是由于应用简单， 仍然受到同学们的青睐．下面就让我们欣赏一下它的魅 力吧！ 一、证明两三角形全等 例１　 如图１，已知 ＡＥ⊥ ＢＤ于点Ｅ，ＣＦ⊥ ＢＤ于点 Ｆ，且 ＡＤ ＝ ＢＣ，ＢＥ ＝ ＤＦ．求 证： △ＡＤＥ≌△ＣＢＦ． 分析：由ＡＥ⊥ＢＤ，ＣＦ⊥ＢＤ 可知，△ＡＤＥ和△ＣＢＦ是两个直角三角形，而又知ＡＤ＝ ＢＣ，只需进一步证明一条直角边对应相等即可． 证明：因为 ＡＥ⊥ ＢＤ，ＣＦ⊥ ＢＤ，所以 ∠ＡＥＤ ＝ ∠ＣＦＢ＝９０°．因为ＤＦ＝ＢＥ，所以ＤＦ＋ＥＦ＝ＢＥ＋ＥＦ， 即ＤＥ＝ＢＦ． 在Ｒｔ△ＡＤＥ和Ｒｔ△ＣＢＦ中，因为 ＡＤ＝ＣＢ， ＤＥ＝ＢＦ{ ， 所以Ｒｔ△ＡＤＥ≌Ｒｔ△ＣＢＦ（ＨＬ）． 二、证明两角相等 例２　如图２，ＡＢ＝ＤＥ，ＡＤ ⊥ＢＥ于点Ｃ，且Ｃ是ＢＥ的中点． 求证：∠Ｂ＝∠Ｅ． 分析：要证明∠Ｂ＝∠Ｅ，可 将问题转化为证明 △ＡＢＣ和 △ＤＥＣ全等．由ＡＤ⊥ＢＥ，可得∠ＡＣＢ＝∠ＤＣＥ＝９０°，由 Ｃ是ＢＥ的中点，可得ＢＣ＝ＥＣ，再根据ＡＢ＝ＤＥ可利用 “ＨＬ”证明两个三角形全等． 证明：因为ＡＤ⊥ＢＥ，所以∠ＡＣＢ＝∠ＤＣＥ＝９０°． 因为Ｃ为ＢＥ的中点，所以ＢＣ＝ＥＣ． 在Ｒｔ△ＡＢＣ和Ｒｔ△ＤＥＣ中，因为 ＡＢ＝ＤＥ， ＢＣ＝ＥＣ{ ， 所以Ｒｔ△ＡＢＣ≌Ｒｔ△ＤＥＣ（ＨＬ）． 所以∠Ｂ＝∠Ｅ． 三、证明两线段相等 例３　如图３，已知ＡＤ，ＡＦ分 别是两个钝角 △ＡＢＣ和 △ＡＢＥ 的高，ＡＤ＝ＡＦ，ＡＣ＝ＡＥ．求证： ＢＣ＝ＢＥ． 分析：根据题意，得 △ＡＤＣ， △ＡＦＥ，△ＡＢＤ，△ＡＢＦ都是直角三角形．根据“ＨＬ”证明 Ｒｔ△ＡＤＣ≌ Ｒｔ△ＡＦＥ，Ｒｔ△ＡＢＤ≌ Ｒｔ△ＡＢＦ．由此可得 ＣＤ＝ＥＦ，ＢＤ＝ＢＦ．从而得到ＢＣ＝ＢＥ． 证明：根据题意，得∠ＡＤＣ＝∠ＡＦＥ＝９０°． 在Ｒｔ△ＡＤＣ和Ｒｔ△ＡＦＥ中，因为 ＡＣ＝ＡＥ， ＡＤ＝ＡＦ{ ， 所以Ｒｔ△ＡＤＣ≌Ｒｔ△ＡＦＥ（ＨＬ）．所以ＤＣ＝ＦＥ． 在Ｒｔ△ＡＤＢ和Ｒｔ△ＡＦＢ中，因为 ＡＢ＝ＡＢ， ＡＤ＝ＡＦ{ ， 所以Ｒｔ△ＡＤＢ≌Ｒｔ△ＡＦＢ（ＨＬ）．所以ＤＢ＝ＦＢ． 所以ＤＢ－ＤＣ＝ＦＢ－ＦＥ，即ＢＣ＝ＢＥ． 书 学习了三角形全等的判定后，我们可以借助全等三 角形的知识，根据所给的条件，用尺规作图的方法作三 角形．下面举例说明． 一、已知两边及其夹角作三角形 例１　已知一个三角形的两条边分别为 ａ，ｂ，这两 条边的夹角为∠α，如图１，求作这个三角形． 分析：根据已知条件，可以先作 ∠ＤＢＥ，使其等于 ∠α，然后分别在∠ＤＢＥ的两边截取线段ＢＣ＝ａ，ＢＡ＝ ｂ，连接ＡＣ即可． 作法： （１）先作∠ＤＢＥ＝∠α； （２）然后分别在∠ＤＢＥ的两边上截取 ＢＣ＝ａ，ＢＡ ＝ｂ； （３）连接ＡＣ，则△ＡＢＣ即为所求（如图２）． 温馨提示：①求作三角形时，一般先作出角，然后根 据条件作出所求作的图形；② 尺规作图时，应注意作图 语言的规范性． 二、已知两角及其夹边作三角形 例２　已知一个三角形的两角分别为 ∠α，∠β，夹 边为ｃ，如图３，求作这个三角形． 分析：作出线段 ＡＢ＝ｃ，即可确定三角形的两个顶 点，再在ＡＢ边的同侧，分别以Ａ，Ｂ为顶点作两个角等于 已知角，这两个角的另一边的交点就是第三个顶点． 作法： （１）先作线段ＡＢ＝ｃ； （２）再分别以 Ａ，Ｂ两点为顶点，射线 ＡＢ，ＢＡ为一 边，在ＡＢ边的同一侧作∠ＤＡＢ＝∠α，∠ＥＢＡ＝∠β； （３）ＡＤ，ＢＥ交于点Ｃ，则△ＡＢＣ即为所求（如图４）． 温馨提示：由于已知条件中有一边，所以三角形的 两个顶点容易确定，关键是确定第三个顶点． 三、已知三边作三角形 例３　已知一个三角形三条边分别为 ａ，ｂ，ｃ，如图 ５，求作这个三角形． 分析：先作出△ＡＢＣ的一条边（如ＡＢ＝ｃ），确定出 两个顶点，然后分别以这两个顶点为圆心，以线段ａ，ｂ的 长为半径画出两条弧即可确定第三个顶点． 作法： （１）先作线段ＡＢ＝ｃ； （２）分别以Ｂ，Ａ为圆心，以ａ，ｂ长为半径画弧，两弧 交于点Ｃ； （３）连接ＡＣ，ＢＣ，则△ＡＢＣ即为所求（如图６）． 温馨提示：利用尺规作三角形时，一定要注意分析条 件，确定出基本的图形，画出草图，进而确定作图的步骤． 四、已知长度不等的两边作直角三角形（较长边为 斜边） 例４　如图７，已知线段ａ，ｂ，其中ｂ＞ａ，作直角三 角形ＡＢＣ，使ｂ为斜边，∠Ｂ＝９０°． 分析：根据已知条件，可以先作 ∠Ｂ＝９０°，然后在 ∠Ｂ的一边上截取线段ＢＣ＝ａ，再以点Ｃ为圆心，线段ｂ 的长为半径画弧即可确定第三个顶点Ａ． 作法： （１）先作∠Ｂ＝９０°； （２）然后在∠Ｂ的一边上截取ＢＣ＝ａ； （３）以点