第12期 14.2 三角形全等的判定（ASA，SSS，AAS）-【数理报】2023-2024学年八年级上册数学学案（沪科安徽专版）

书 两个三角形全等的判定方法有“ＳＳＳ”，“ＳＡＳ”， “ＡＳＡ”，“ＡＡＳ”及直角三角形中的“ＨＬ”，它们都需要三 个条件，而常见的试题却往往只给出两个明显的已知条件， 面对“二缺一”的局面，到底选择哪种方法来判定呢？ 一、已知两边对应相等 已知条件 ＡＢ＝ＤＥ ＢＣ＝ＥＦ 方法一 找第三边对应相等：首先判断 ＡＣ＝ＤＦ，然 后应用“ＳＳＳ”判定全等 方法二 找已知两边的夹角对应相等：首先判断∠Ｂ ＝∠Ｅ，然后应用“ＳＡＳ”判定全等 例１　如图１，已知ＡＢ＝ ＤＥ，ＡＤ＝ＣＦ，添加下列条件， 能判定△ＡＢＣ≌△ＤＥＦ的是 （　　） Ａ．ＡＣ＝ＤＦ Ｂ．∠Ａ＝∠ＦＤＥ Ｃ．∠ＡＣＢ＝∠Ｆ Ｄ．∠Ｂ＝∠Ｅ 解析：因为ＡＤ＝ＣＦ，所以ＡＤ＋ＣＤ＝ＣＦ＋ＣＤ，即 ＡＣ＝ＤＦ．要判定 △ＡＢＣ≌ △ＤＥＦ，已经有两边对应相 等，应添加这两边的夹角对应相等或第三边对应相等． 添加ＡＣ＝ＤＦ或∠ＡＣＢ＝∠Ｆ或∠Ｂ＝∠Ｅ，不能 判定△ＡＢＣ≌△ＤＥＦ； 添加 ∠Ａ＝∠ＦＤＥ，根据“ＳＡＳ”判定 △ＡＢＣ≌ △ＤＥＦ． 故选Ｂ． 二、已知两角对应相等 已知条件 ∠Ａ＝∠Ｄ ∠Ｂ＝∠Ｅ 方法一 找已知两角的夹边对应相等：首先判断 ＡＢ ＝ＤＥ，然后应用“ＡＳＡ”判定全等 方法二 找已知一角的对边相等：首先判断ＡＣ＝ＤＦ 或者ＢＣ＝ＥＦ，然后应用“ＡＡＳ”判定全等 例２　如图２，ＡＣ，ＢＤ相交于 点Ｏ，∠Ａ＝∠Ｄ，请你再补充一个 条件，使△ＡＯＢ≌△ＤＯＣ，你补充 的条件是 ． 解析：由对顶角相等，得 ∠ＡＯＢ＝∠ＤＯＣ．要判定 △ＡＯＢ ≌△ＤＯＣ，应添加一组边对应相等． 添加ＡＯ＝ＤＯ，根据“ＡＳＡ”判定△ＡＯＢ≌△ＤＯＣ； 添加ＡＢ＝ＤＣ或ＢＯ＝ＣＯ，根据“ＡＡＳ”判定△ＡＯＢ ≌△ＤＯＣ． 故填ＡＯ＝ＤＯ或ＡＢ＝ＤＣ或ＢＯ＝ＣＯ． 三、已知一边、一角对应相等 已知条件 ＡＢ＝ＤＥ ∠Ｂ＝∠Ｅ 方法一 找已知角的另一邻边对应相等：首先判断 ＢＣ＝ＥＦ，然后应用“ＳＡＳ”判定全等 方法二 找已知边的另一邻角对应相等：首先判断 ∠Ａ＝∠Ｄ，然后应用“ＡＳＡ”判定全等 方法三 找已知边的对角对应相等：首先判定 ∠Ｃ ＝∠Ｆ，然后应用“ＡＡＳ”判定全等 例３　 如图３，已知 ∠ＤＡＢ ＝∠ＣＡＢ，点 Ａ，Ｂ，Ｅ共线，添加 下列条件不能判定 △ＤＡＢ≌ △ＣＡＢ的是 （　　） Ａ．∠ＤＢＥ＝∠ＣＢＥ Ｂ．∠Ｄ＝∠Ｃ Ｃ．ＤＡ＝ＣＡ Ｄ．ＤＢ＝ＣＢ 解析：由图可知，ＡＢ是公共边． 添加∠ＤＢＥ＝∠ＣＢＥ，因为∠ＤＡＢ＝∠ＣＡＢ，所以 ∠ＤＢＥ－∠ＤＡＢ＝∠ＣＢＥ－∠ＣＡＢ，即∠Ｄ＝∠Ｃ，根据 “ＡＡＳ”判定△ＤＡＢ≌△ＣＡＢ； 添加∠Ｄ＝∠Ｃ，根据“ＡＡＳ”判定△ＤＡＢ≌△ＣＡＢ； 添加ＤＡ＝ＣＡ，根据“ＳＡＳ”判定△ＤＡＢ≌△ＣＡＢ； 添加ＤＢ＝ＣＢ，无法判定△ＤＡＢ≌△ＣＡＢ． 故选Ｄ． 书 三、１３．因为 ＡＢ∥ ＤＥ， 所 以 ∠ＢＡＣ ＝ ∠ＡＤＥ． 在△ＡＢＣ和△ＤＡＥ 中， 因 为 ＡＢ＝ＤＡ， ∠ＢＡＣ＝∠ＡＤＥ， ＡＣ＝ＤＥ { ， 所 以 △ＡＢＣ ≌ △ＤＡＥ（ＳＡＳ）． 所以∠Ｃ＝∠Ｅ． １４． （１） 因 为 △ＡＢＤ≌ △ＣＦＤ，所以 ＡＤ＝ＣＤ＝７． 因为 ＢＣ＝１０，所 以ＢＤ＝ＢＣ－ＣＤ＝３． （２）因 为 ＡＤ ⊥ ＢＣ，所以∠ＡＤＢ＝９０°． 所以 ∠Ｂ＋∠ＢＡＤ ＝ ９０°．因 为 △ＡＢＤ ≌ △ＣＦＤ，所以 ∠ＢＡＤ＝ ∠ＦＣＤ．所 以 ∠Ｂ ＋ ∠ＦＣＤ ＝ ９０°．所 以 ∠ＣＥＢ＝９０°．所以 ＣＥ ⊥ＡＢ． １５．（１）由对顶角 相 等， 得 ∠ＢＣＦ ＝ ∠ＤＣＥ． 在 △ＢＣＦ 和 △ＤＣＥ 中， 因 为 ＢＣ＝ＤＣ， ∠ＢＣＦ＝∠ＤＣＥ， ＣＦ＝ＣＥ { ， 所 以 △ＢＣＦ ≌ △ＤＣＥ（ＳＡＳ）． 所以∠Ｆ＝∠Ｅ． 所以ＭＦ∥ＤＥ． 因为ＡＭ∥ＤＥ， 所以点 Ａ，Ｍ，Ｆ在 一条直线上． （２） 由 （１） 知 △ＢＣＦ≌△ＤＣＥ． 因为ＤＥ＝１００米， 所以 ＢＦ＝ＤＥ＝ １００米． 因为 ＢＭ ＝４０米， 书 上期２版 １４．１全等三角形 基础训练　１．Ｃ；　２．Ｃ；　３．５５；　４．９５°． ５．（１）因为△ＡＢＥ≌△ＤＣＦ，所以∠Ｂ＝∠Ｃ． 所以ＡＢ∥ＣＤ． （２）因为△ＡＢＥ≌△ＤＣＦ，所以ＢＥ＝ＣＦ． 所以ＢＥ－ＥＦ＝ＣＦ－ＥＦ，即ＢＦ＝ＣＥ． 因为ＢＣ＝１０，ＥＦ＝７， 所以ＣＥ＝ＢＦ＝ １２×（１０－７）＝１．５． 所以ＢＥ＝ＢＣ－ＣＥ＝８．５． ６．如图所示： 能力提高　７．１９３或６． １４．２三角形全等的判定 １４．２．１边角边（ＳＡＳ）① 基础训练　１．Ｃ；　２．Ｂ；　３．①③；　４．５０°． ５．因为∠１＝∠２， 所以∠１＋∠ＤＡＣ＝∠２＋∠ＤＡＣ，即 ∠ＢＡＣ＝