第12期 3.3 二元一次方程组及其解法-【数理报】2023-2024学年七年级上册数学学案（沪科安徽专版）

书 学过二元一次方程组后，解题时常常会遇到关于解 方程组看错系数的问题，这类问题能帮助我们深刻理解 方程组的解的含义，培养我们根据定义进行推理的能力． 例１　已知 ▲ ｘ＋●ｙ＝１， ■ｘ－７ｙ＝{ １ 是一个被墨水污染的方 程组．圆圆说：“这个方程组的解是 ｘ＝３， ｙ＝－１{ ，而我由于看错 了第二个方程中ｘ的系数，求出的解是 ｘ＝－２， ｙ＝１{ ．”请你根 据以上信息，把方程组复原出来． 分析：此题是解二元一次方程组的逆运算．设被墨 水污染的“▲”为ａ，“●”为ｂ，“■”为ｃ，把原方程组的 解代入即可求出ｃ的值，并得到一个关于ａ，ｂ的方程；由 于圆圆看错了第二个方程中ｘ的系数，所以代入含 ｃ的 式子不成立，所以只能代入第一个式子，又得到一个关 于ａ，ｂ的方程，二者联立，即可求得ａ，ｂ的值． 解：设被墨水污染的“▲”为ａ，“●”为ｂ，“■”为ｃ．把 ｘ＝３， ｙ＝－{ １代入方程组 ａｘ＋ｂｙ＝１， ｃｘ－７ｙ＝１{ ，得 ３ａ－ｂ＝１， ① ｃ＝－２{ ． 把 ｘ＝－２， ｙ＝{ １ 代入方程ａｘ＋ｂｙ＝１，得 －２ａ＋ｂ＝１．② 联立①②，得 ３ａ－ｂ＝１， －２ａ＋ｂ＝１{ ．解得 ａ＝２， ｂ＝５{ ． 所以原方程组为 ２ｘ＋５ｙ＝１， －２ｘ－７ｙ＝１{ ． 例２　解方程组 ａｘ＋ｂｙ＝１， ｃｘ＋ｄｙ＝－{ １时，甲把ｃ看错了，得 到 ｘ＝－１９６， ｙ＝－３２ { ，乙把ｄ看错了，得到 ｘ＝－６，ｙ＝－１９７{ ，求ａ，ｂ的值． 分析：由方程组的解的定义可知，两人求得的结果 都是方程ａｘ＋ｂｙ＝１的解，于是能得到关于ａ，ｂ的方程 组，进而可求出ａ，ｂ的值． 解：根据题意，得甲、乙两人解出的 ｘ，ｙ的值都是方 程ａｘ＋ｂｙ＝１的解． 所以 －１９６ａ－ ３ ２ｂ＝１， －６ａ－１９７ｂ＝１ { ．解得 ａ＝３，ｂ＝－７{ ． 书 二元一次方程组精通 “变脸术”，经常以各种不 同的面孔出现在同学们面 前．同学们只要熟练掌握它 的概念和解法，就能透过 “假面具”看清其真面目， 从而运用它解决问题． 一、没有大括号 例１　若ｘ＋ｙ＝５，２ｘ －３ｙ＝１０，则ｘ－４ｙ的值是 ． 分析：根据已知方程和 要求代数式的系数特点用 第二个方程直接减去第一 个方程即可求解． 解：由题意，得 ｘ＋ｙ＝５， ２ｘ－３ｙ＝１０{ ． ① ② ② －①，得ｘ－４ｙ＝５． 故填５． 二、没有未知数 例２　定义一个关于非零常数ａ，ｂ的新运算，规定： ａ◎ｂ＝ａｘ＋ｂｙ．例如：３◎２＝３ｘ＋２ｙ．已知１◎１＝８， ４◎２＝２０，求ｘ，ｙ的值． 分析：利用新定义的运算规则构造出相关的方程 组，解方程组即可求出ｘ，ｙ的值． 解：根据题意，得 ｘ＋ｙ＝８， ４ｘ＋２ｙ＝２０{ ．解得 ｘ＝２， ｙ＝６{ ． 三、只有等量关系 例３　若（４ｘ＋ｙ－４）２与｜２ｘ－ｙ＋１｜互为相反 数，则ｘｙ的值是 ． 分析：利用“互为相反数的两数之和为０”列出等 式，再利用非负数的性质列出方程组，求解方程组即可 得到ｘ与ｙ的值． 解：根据题意，得（４ｘ＋ｙ－４）２＋｜２ｘ－ｙ＋１｜＝０． 所以 ４ｘ＋ｙ－４＝０， ２ｘ－ｙ＋１＝０{ ．解得 ｘ＝ １２， ｙ＝２ { ． 所以 ｘｙ ＝（１２） ２ ＝ １４． 故填 １ ４． 书 解二元一次方程组的 基本方法是代入法和加减 法，在运用这两种方法解 二元一次方程组时，我们 可以灵活运用整体思想， 使解题更加简便． 一、整体代入 例 １　 解 方 程 组： ３ｘ－４（ｘ－２ｙ）＝５，① ｘ－２ｙ＝１．　　 　　{ ② 分析：观察方程组可 发现，两个方程中都有ｘ－ ２ｙ，若把ｘ－２ｙ看作一个整 体，把②代入①即可求出 ｘ的值，再把ｘ的值代入方 程②中即可求出ｙ的值． 解：把 ② 代入 ①，得 ３ｘ－４＝５． 解得ｘ＝３． 把ｘ＝３代入②中，得ｙ＝１． 所以原方程组的解为 ｘ＝３， ｙ＝１{ ． 二、整体相加 例２　解方程组：３ｘ＋４（ｘ＋ｙ）＝７， ３ｙ＋５（ｘ＋ｙ）＝５{ ． ① ② 分析：方程①说明的是ｘ与ｘ＋ｙ的关系，方程②说 明的是ｙ与ｘ＋ｙ的关系，仔细观察方程组，会发现通过 ① ＋②可求得ｘ＋ｙ的值，进而代入原方程组即可求解． 解：① ＋②，得３（ｘ＋ｙ）＋９（ｘ＋ｙ）＝１２． 所以ｘ＋ｙ＝１．　　　　　　　　　　　　 ③ 将③代入①，得３ｘ＋４＝７． 解得ｘ＝１．所以ｙ＝０． 所以原方程组的解为 ｘ＝１， ｙ＝０{ ． 三、整体换元 例３　解方程组：３（ｘ－２ｙ）＋２（ｘ＋２ｙ）＝５， ２（ｘ－２ｙ）－ｘ－２ｙ＝１{ ． 分析：遇到此类题，大多数同学是将方程组先转化 为二元一次方程组的一般形式，然后再求解，这样不但 过程繁琐，而且容易出错．仔细观察方程组，会发现每 个方程中都含有ｘ－２ｙ和ｘ＋２ｙ，如果将ｘ