第15期 24.2.1 垂径分弦 24.2.2 圆心角 、弧 、弦 、弦心距间的关系-【数理报】2023-2024学年九年级(中考)数学学案（沪科安徽专版）

书 １８．（１）证明：因为 ∠ＣＡＦ＝∠ＢＡＥ，所以 ∠ＢＡＣ＝∠ＥＡＦ．由旋 转的性质，得ＡＣ＝ＡＦ． 在△ＡＢＣ与△ＡＥＦ中， ＡＢ＝ＡＥ， ∠ＢＡＣ＝∠ＥＡＦ， ＡＣ＝ＡＦ { ， 所 以△ＡＢＣ≌ △ＡＥＦ，所 以ＥＦ＝ＢＣ． （２）因为ＡＢ＝ＡＥ， ∠ＡＢＣ ＝ ６５°， 所 以 ∠ＢＡＥ＝１８０°－６５°×２ ＝５０°，所以 ∠ＦＡＧ＝ ∠ＢＡＥ ＝ ５０°． 因 为 △ＡＢＣ≌ △ＡＥＦ，所以 ∠Ｆ＝∠Ｃ＝２０°，所以 ∠ＦＧＣ＝∠ＦＡＧ＋∠Ｆ ＝５０°＋２０°＝７０°． １９．（１）证明：由题 意知△ＡＢＭ≌△ＡＣＭ， △ＡＢＥ≌ △ＤＣＥ，所以 ＡＢ＝ＡＣ，ＡＢ＝ＣＤ，所 以ＡＣ＝ＣＤ． （２）∠Ｆ ＝ ∠ＭＣＤ．理由如下： 由（１）可得 ∠ＢＡＥ ＝ ∠ＣＡＥ ＝ ∠ＣＤＥ， ∠ＣＭＡ＝∠ＢＭＡ，因为 ∠ＢＡＣ ＝ ２∠ＭＰＣ， ∠ＢＭＡ＝∠ＰＭＦ，所以 设 ∠ＭＰＣ ＝ α， 则 ∠ＢＡＥ ＝ ∠ＣＡＥ ＝ ∠ＣＤＥ＝α，设 ∠ＢＭＡ ＝ β， 则 ∠ＰＭＦ ＝ ∠ＣＭＡ＝β，所以 ∠Ｆ ＝∠ＣＰＭ－∠ＰＭＦ＝α －β，∠ＭＣＤ＝∠ＣＤＥ－ ∠ＤＭＣ＝α－β，所以 ∠Ｆ＝∠ＭＣＤ． ２０． （１） 因 为 ∠ＡＣＢ＝９０°，Ｄ是 ＡＢ 的中点，所以 ＤＣ＝ＤＢ ＝ ＤＡ，所 以 ∠Ｂ ＝ ∠ＤＣＢ，在 △ＡＢＣ和 书 上期２版 ２４．１旋转（第一课时） 基础训练　１．Ｂ；　２．Ｂ；　３．Ｄ；　４．６；　５．（４，２）； 槡６． １４． 能力提高 　７．（１）证明：由旋转的性质，得 ＡＧ＝ ＡＦ，∠ＤＡＦ＝∠ＢＡＧ， 因为 ∠ＤＡＢ＝９０°，∠ＥＡＦ＝４５°，所以 ∠ＤＡＦ＋ ∠ＥＡＢ＝４５°，所以∠ＢＡＧ＋∠ＥＡＢ＝４５°，即∠ＥＡＦ＝ ∠ＥＡＧ，在△ＥＡＧ和△ＥＡＦ中， ＡＧ＝ＡＦ， ∠ＥＡＧ＝∠ＥＡＦ， ＡＥ＝ＡＥ { ， 所以 △ＥＡＧ≌△ＥＡＦ，所以ＧＥ＝ＦＥ． （２）设ＢＥ＝ｘ，则ＥＦ＝ＧＥ＝２＋ｘ，ＣＥ＝４－ｘ， 因为ＣＤ＝４，ＤＦ＝２，所以ＣＦ＝ＣＤ－ＤＦ＝２， 因为∠Ｃ＝９０°，由勾股定理，得ＣＥ２＋ＣＦ２＝ＥＦ２， 所以（４－ｘ）２＋２２＝（２＋ｘ）２，解得ｘ＝４３，即ＢＥ＝ ４ ３． ２４．１旋转（第二课时） 基础训练　１．Ｂ；　２．Ａ；　３．５；　４．４８． ５．证明：连接ＢＦ，ＤＥ，因为△ＡＢＯ与△ＣＤＯ关于Ｏ 点成中心对称，所以ＯＢ＝ＯＤ，ＯＡ＝ＯＣ．因为ＡＦ＝ＣＥ， 所以ＯＦ＝ＯＥ，所以四边形ＢＥＤＦ是平行四边形，所以 ＦＤ＝ＢＥ，ＦＤ∥ＢＥ． 能力 提 高 　６． （１）由 题 意 可 知，△ＯＡ１Ｂ１， △Ｂ２Ａ２Ｂ１，△Ｂ２Ａ３Ｂ３都是等边三角形，且边长为２， 所以ＯＢ１ ＝Ｂ１Ｂ２ ＝Ｂ２Ｂ３ ＝２， 所以Ｂ１（２，０），Ｂ２（４，０），Ｂ３（６，０）． （２）过点Ａ１作Ａ１Ｈ⊥ＯＢ１交ｘ轴于点Ｈ， 因为Ａ１Ｏ＝Ａ１Ｂ１，所以ＯＨ＝ＨＢ１＝１，所以Ａ１Ｈ＝ Ａ１Ｏ ２－ＯＨ槡 ２ ＝ ２２－１槡 ２ ＝槡３，所以Ａ１（１，槡３）， 因为 Ｂ２（４，０），所以 Ａ１Ｂ２ ＝ Ａ１Ｈ ２＋Ｂ２Ｈ槡 ２ ＝ （槡３） ２＋３槡 ２ ＝ 槡２３． ２４．１旋转（第三课时） 基础训练　１．Ｂ；　２．Ｃ；　３．菱形；　４．６０． ５．答案不惟一，如图１所示． 能力提高　６．（１）如图２，点 Ｄ即为所求． 由勾股定理，得 ＣＤ＝ＡＢ＝ 槡２２，ＡＤ＝ＢＣ＝槡５，所以四边形 ＡＢＣＤ是平行四边形，所以四边形 ＡＢＣＤ是中心对称图形． （２）如图２，点Ｅ即为所求，此 时ＤＥ＝槡１０． 上期３版 一、 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ 答案 Ｂ Ｄ Ｃ Ｃ Ａ Ｃ Ａ Ｃ 二、９．２；　１０．９；　１１．＝；　１２．５；　１３．（４，－１）； １４．（４０４５，槡３）． 三、１５．图略． １６．（１）在Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠Ｃ＝９０°，∠ＢＡＣ＝２０°，所 以∠ＡＢＣ＝７０°，由旋转的性质，得∠ＥＢＦ＝∠ＡＢＣ＝ ７０°，ＡＢ＝ＢＦ，所以 ∠ＢＡＦ＝∠ＢＦＡ＝ １２·（１８０°－ ７０°）＝５５°． （２）因为∠Ｃ＝９０°，ＡＣ＝１２，ＢＣ＝５，所以ＡＢ＝ １３，由旋转的性质，得ＢＥ＝ＢＣ＝５，ＥＦ＝ＡＣ＝１２，所以 ＡＥ＝ＡＢ－ＢＥ＝１３－５＝８，所以ＡＦ＝ ＡＥ２＋ＥＦ槡 ２ ＝ 槡４ １３． １７．（１）中点；Ｅ；等腰． （２）由题意易得 △ＡＤＥ≌ △ＦＣＥ，所以 Ｓ△ＡＤＥ ＝ Ｓ△ＦＣＥ，所以Ｓ△ＡＢＦ ＝Ｓ四边形ＡＢＣＤ，因为Ｓ四边形ＡＢＣＤ ＝１２，所以 Ｓ△ＡＢＦ ＝１２． 书 重点集训营 １．如图１，⊙Ｏ的弦 ＡＢ＝８，半径 ＯＣ⊥ＡＢ，垂足为Ｄ，且ＣＤ＝２，则⊙Ｏ 的半径等于 （　　） 　　　　　　　　　　　　　　　Ａ．４ Ｂ．５ Ｃ．６ Ｄ．８ ２．如图 ２，点