第10期 4.1 正弦和余弦 4.2 正切(答案见下期)-【数理报】2023-2024学年九年级(中考)数学学案（湘教版）

书 ９期答案 一、１．Ｂ；　２．Ｄ； ３．Ｃ；　４．Ｃ；　５．Ｃ； ６．Ｂ；　７．Ｃ；　８．Ｃ； ９．Ｄ；　１０．Ｂ． 二、１１．２００；　１２．９； １３．５；　１４．１６３； １５．１；　１６． 槡１６２５ 或槡２． 三、１７．相似比为 ３２， ∠Ｄ′＝４８°，ＣＤ＝１５． １８．（１）图略． （２）图略．点 Ｂ２的坐 标为（１０，４）． １９．（１）略． （２）ＡＤ＝１５２． ２０．设 ＢＤ ＝ｘｍ，则 ＢＣ＝ＢＤ＋ＤＧ＋ＣＧ＝ｘ＋ ２６－２＋４＝（ｘ＋２８）ｍ， 因为 ＡＢ⊥ ＢＣ，ＥＦ⊥ ＢＣ，所以 ＡＢ∥ ＥＦ，所以 △ＡＢＤ∽ △ＦＥＤ，所以ＥＦＡＢ ＝ＤＥＢＤ，即 １．５ ＡＢ＝ ２ ｘ． 同理可证 △ＡＢＣ∽ △ＨＧＣ，所以ＧＨＡＢ＝ ＣＧ ＢＣ，即 １．５ ＡＢ ＝ ４ ｘ＋２８，所以 ２ ｘ ＝ ４ ｘ＋２８，解得ｘ＝２８． 经检验，ｘ＝２８是原方 程的解，所以 １．５ ＡＢ ＝ ２ ２８，所 以ＡＢ＝２１ｍ，所以该古建 筑ＡＢ的高度为２１ｍ． ２１．（１）证明：因为 △ＡＢＣ是等边三角形，所 以 ＡＢ ＝ ＢＣ，∠ＡＢＤ ＝ ∠ＢＣＥ．因为 ＢＤ＝ＣＥ，所 以 △ＡＢＤ≌ △ＢＣＥ，所以 ∠ＢＡＤ＝∠ＣＢＥ．又因为 ∠ＡＢＣ ＝ ∠ＢＡＣ，所 以 ∠ＡＢＥ＝∠ＥＡＦ．又因为 ∠ＡＥＦ ＝ ∠ＢＥＡ，所 以 △ＡＥＦ∽△ＢＥＡ． （２）因为 ∠ＢＡＤ ＝ ∠ＣＢＥ，∠ＢＤＡ＝∠ＦＤＢ， 所以 △ＡＢＤ∽ △ＢＦＤ，所 以 ＡＤ ＢＤ＝ ＢＤ ＤＦ，所以 ＢＤ ２ ＝ ＡＤ·ＤＦ＝（ＡＦ＋ＤＦ）·ＤＦ ＝８，所以ＢＤ＝ 槡２２． ２２．（１）证明：因为ＢＣ ＝ＤＣ，∠ＢＣＥ ＝∠ＤＣＦ， ＣＥ＝ＣＦ，所以 △ＢＣＥ≌ △ＤＣＦ，所 以 ∠ＥＢＣ ＝ ∠ＦＤＣ， 即 ∠ＥＢＣ ＝ ∠ＥＤＭ．因为 ∠ＤＥＭ ＝ ∠ＢＥＣ，所 以 ∠ＢＣＥ ＝ ∠ＤＭＥ＝９０°，即 ＢＭ⊥ ＤＦ． （２）因为ＢＣ＝ＣＤ＝ ２，∠ＢＣＤ＝９０°，所以 ＢＤ ＝ 槡２２．又因为 ＢＥ平分 ∠ＤＢＣ交 ＤＦ于点 Ｍ，ＢＭ 书 重点集训营 １．（２０２２洛阳一模）在直角三角形中，３０°角对的 直角边是斜边的一半．若ｓｉｎ（α＋２０°）＝１ ２ ，则α的度 数是（　　） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 Ａ．４０°Ｂ．３０°Ｃ．２０°Ｄ．１０° ２．如果∠Ａ为锐角，ｃｏｓＡ＝槡３ ３ ，那么∠Ａ的取值范 围是（　　） Ａ．０°＜∠Ａ≤３０°Ｂ．３０°＜∠Ａ≤４５° Ｃ．４５°＜∠Ａ＜６０°Ｄ．６０°＜∠Ａ＜９０° ３．（２０２２杭州模拟）已知α为锐角，若槡３ｔａｎ ２ α－ ４ｔａｎα＋槡３＝０，则α的度数为． ４．（２０２２珠海一模）在△ＡＢＣ中，（２ｃｏｓＡ－槡２） ２ ＋｜１－ｔａｎＢ｜＝０，则△ＡＢＣ的形状是． ５．（２０２３西安三模）如图，在等腰△ＡＢＣ中，∠Ａ＝ １２０°，ＡＢ＝ＡＣ，若ＡＢ＝１，求ＢＣ的长． 辅助线周周练 １．如图１，在Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠ＡＣＢ＝９０°，ＢＣ＝１０， ＡＣ＝２０，Ｄ为ＡＢ的中点，连接ＣＤ，将△ＢＣＤ沿ＣＤ翻 折得到△Ｂ′ＣＤ，Ｂ′Ｄ交ＡＣ于点Ｅ，则ＤＥ ＥＢ′＝． ２．如图２，ｓｉｎ∠Ｏ＝３ ５ ，长度为２的线段ＤＥ在射线 ＯＢ上滑动，点Ｃ在射线ＯＡ上，且ＯＣ＝５，△ＣＤＥ的两 个内角的角平分线相交于点Ｆ，过点Ｆ作ＦＧ⊥ＤＥ，垂 足为Ｇ，则ＦＧ的最大值为． 【提示】 １．过点Ｂ作ＢＨ⊥ＣＤ于点Ｈ，过点Ｅ作ＥＦ⊥ＣＤ 于点Ｆ，由勾股定理可求ＡＢ的长，由锐角三角函数的 定义可求ＢＨ，ＣＨ，ＤＨ的长，由折叠的性质可得 ∠ＢＤＣ＝∠Ｂ′ＤＣ，Ｓ△ＢＣＤ＝Ｓ△ＤＣＢ′，利用锐角三角函 数可求得ＥＦ的长，根据面积关系即可求解． ２．连接ＣＦ，过点Ｆ作ＦＭ⊥ＣＤ于Ｍ，ＦＮ⊥ＥＣ于 Ｎ，过点Ｃ作ＣＨ⊥ＯＥ于Ｈ．根据正弦的定义求得ＣＨ 的长，利用面积法可得ＦＧ·（２＋ＥＣ＋ＣＤ）＝６，推出 当ＥＣ＋ＣＤ的值最小时，ＦＧ的值最大，过点Ｃ作ＣＫ ∥ＤＥ，使得ＣＫ＝ＤＥ＝２，作点Ｋ关于直线ＯＢ的对 称点Ｊ，连接ＣＪ交ＯＢ于Ｅ，连接ＫＪ交ＯＢ于Ｔ，连接 ＫＥ，此时ＣＥ＋ＣＤ的值最小，最小值为ＣＪ的长，在 Ｒｔ△ＪＫＣ中，利用勾股定理解出ＣＪ的长即可． 书 ８期２版 ３．４．２相似三角形的性质 基础训练　１．Ｃ；　２．Ｃ；　３．Ａ；　４．Ａ；　５．２５；　６．４０９；　７．１６． 能力提高　８．（１）证明：因为ＡＢ∥ＤＣ，所以∠ＡＢＤ＝∠ＢＤＣ，∠ＡＢＣ ＋∠Ｃ＝１８０°．因为∠ＡＢＣ＋∠ＡＤＢ＝１８０°，所以∠Ｃ＝∠ＡＤＢ，所以 △ＡＢＤ∽△ＢＤＣ． （２）Ｓ△ＢＤＣ＝１２． ３．５相似三角形的应用 基础训练　１．Ｂ；　２．Ｂ；　３．６；　４．１２；　５．（１０＋槡３）． 能力提高　６．旗杆ＣＤ的高度为９米． ３