第17期 26.2 实际问题与反比例函数 第二十六章整章复习-【数理报】2023-2024学年九年级(中考)数学学案（人教版）

书 在近几年的中考试题中，总会出现一些将反比例函 数的图象与几何图形综合到一起考查的问题，这类问题 在考查反比例函数的同时，又考查了同学们对几何图形 性质的掌握程度，下面我们一起来看几道例题． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　例１ （２０２２东营）如图 １， △ＡＢＣ是等腰直角三角形，直角 顶点Ｃ与坐标原点重合，若点Ｂ在 反比例函数ｙ＝ １ｘ（ｘ＞０）的图 象上，则经过点 Ａ的反比例函数 表达式为 ． 解析：过点Ａ作ＡＥ⊥ｘ轴于Ｅ，过点Ｂ作ＢＤ⊥ｘ轴 于Ｄ，则∠ＡＥＯ＝∠ＯＤＢ＝９０°， 由题意得 ＯＡ＝ＯＢ，∠ＡＯＢ＝９０°，所以 ∠ＥＡＯ＋ ∠ＥＯＡ＝∠ＡＯＥ＋∠ＢＯＤ ＝９０°，所以 ∠ＥＡＯ ＝ ∠ＤＯＢ，所以 △ＡＥＯ≌ △ＯＤＢ（ＡＡＳ），所以 ＡＥ＝ＯＤ， ＯＥ＝ＢＤ． 设点Ｂ的坐标为（ａ，ｂ），则ＡＥ＝ＯＤ＝ａ，ＯＥ＝ＢＤ ＝ｂ，所以点Ａ的坐标为（－ｂ，ａ）， 因为点Ｂ在反比例函数ｙ＝ １ｘ上，所以ａｂ＝１， 所以经过点Ａ的反比例函数表达式为ｙ＝－１ｘ． 故填ｙ＝－１ｘ． 例２　（２０２２枣庄）如图２，正 方形ＡＢＣＤ的边长为５，点Ａ的坐 标为（４，０），点Ｂ在ｙ轴上，若反比 例函数ｙ＝ ｋｘ（ｋ≠０）的图象过 点Ｃ，则ｋ的值为 （　　） Ａ．４ Ｂ．－４ Ｃ．－３ Ｄ．３ 解析：过点Ｃ作ＣＥ⊥ｙ轴于点Ｅ， 在正方形 ＡＢＣＤ中，ＡＢ＝ＢＣ，∠ＡＢＣ＝９０°，所以 ∠ＡＢＯ＋∠ＣＢＥ＝９０°，因为∠ＯＡＢ＋∠ＡＢＯ＝９０°，所 以∠ＯＡＢ＝∠ＣＢＥ，因为点Ａ的坐标为（４，０），所以ＯＡ ＝４， 因为ＡＢ＝５，所以由勾股定理，得ＯＢ＝ ５２－４槡 ２ ＝３， 在 △ＡＢＯ和 △ＢＣＥ中， ∠ＯＡＢ＝∠ＣＢＥ， ∠ＡＯＢ＝∠ＢＥＣ， ＡＢ＝ＢＣ { ， 所以 △ＡＢＯ≌△ＢＣＥ（ＡＡＳ），所以ＯＡ＝ＢＥ＝４，ＣＥ＝ＯＢ＝３， 所以ＯＥ＝ＢＥ－ＯＢ＝４－３＝１，所以点Ｃ的坐标 为（－３，１）， 因为反比例函数ｙ＝ｋｘ（ｋ≠０）的图象过点Ｃ，所以 ｋ＝ｘｙ＝－３×１＝－３． 故选Ｃ． 例３　（２０２２通辽）如图３，点Ｄ 是ＯＡＢＣ内一点，ＡＤ与ｘ轴平行， ＢＤ与ｙ轴平行，ＢＤ＝槡３，∠ＢＤＣ＝ １２０°，Ｓ△ＢＣＤ ＝ 槡 ９３ ２，若反比例函数ｙ ＝ ｋｘ（ｘ＜０）的图象经过 Ｃ，Ｄ两 点，则ｋ的值是 （　　） Ａ．－ 槡６３ Ｂ．－６ Ｃ．－ 槡１２３ Ｄ．－１２ 解析：过点Ｃ作ＣＥ⊥ｙ轴于点Ｅ，延长ＢＤ交ＣＥ于 点Ｆ， 因为四边形ＯＡＢＣ为平行四边形，所以ＡＢ∥ＯＣ，ＡＢ ＝ＯＣ，又因为ＢＤ∥ｙ轴，所以∠ＣＯＥ＝∠ＡＢＤ， 因为ＡＤ∥ｘ轴，所以∠ＡＤＢ＝９０°，所以△ＣＯＥ≌ △ＡＢＤ（ＡＡＳ），所以ＯＥ＝ＢＤ＝槡３， 因为Ｓ△ＢＤＣ ＝ １ ２ＢＤ·ＣＦ＝ 槡９３ ２，所以ＣＦ＝９， 因为∠ＢＤＣ＝１２０°，所以∠ＣＤＦ＝６０°， 所以∠ＤＣＦ＝３０°，所以由勾股定理，得ＤＦ＝ 槡３３， 所以点Ｄ的纵坐标为 槡４３． 设Ｃ（ｍ，槡３），Ｄ（ｍ＋９，槡４３）， 因为反比例函数ｙ＝ｋｘ（ｘ＜０）的图象经过Ｃ，Ｄ两 点，所以ｋ＝槡３ｍ＝ 槡４３（ｍ＋９），解得ｍ＝－１２，所以ｋ ＝－ 槡１２３． 故选Ｃ． 书 利用反比例函数解决实际问题一般按照以下三个 环节进行： ①“求式”，建立一个反比例函数的数学模型，即利 用待定系数法求出反比例函数的表达式； ②“应用”，应用反比例函数的性质解决实际问题； ③“注意”，在解答实际问题时，要注意自变量的取 值范围． 下面举例进行说明，供同学们参考． 例１　 （２０２３天津和平区一模）已知甲、乙两地相 距ｓ（单位：ｋｍ），汽车从甲地匀速行驶到乙地，则汽车行 驶的时间ｔ（单位：ｈ）关于行驶速度ｖ（单位：ｋｍ／ｈ）的函 数图象是 （　　） 分析：根据实际意义，写出函数解析式，根据函数的 类型以及自变量的取值范围即可进行判断． 解：根据题意有ｖ·ｔ＝ｓ，所以ｔ＝ ｓｖ， 故ｔ与ｖ之间的函数图象为反比例函数图象，且根据 实际意义ｖ＞０，ｔ＞０， 所以其图象在第一象限，Ｃ正确． 故选Ｃ． 例２　办公区域的自动饮水机，开机加热时水温每 分钟上升２０℃，水温到１００℃时停止加热，此后水温开 始下降．水温ｙ（℃）与开机通电时间 ｘ（ｍｉｎ）成反比例 关系．若水温在２０℃时接通电源，一段时间内，水温ｙ与 通电时间ｘ之间的函数关系如图所示． （１）水温从２０℃ 加热到 １００℃，需要 ｍｉｎ； （２）求水温下降过程中，ｙ 与ｘ的函数关系式，并写出自 变量ｘ的取值范围； （３）如果上午８点接通电 源，那么８：２０之前，水温不低于８０℃的时间有多长？ 分析：（１）根据开机加热时水温每分钟上升２０℃即 可求出水温从２０℃加热到１００℃所需时间； （２）根据反比例函数过点（４，１００），可求出关系式；