第10期 24.2 点和圆、直线和圆的位置关系-【数理报】2023-2024学年九年级(中考)数学学案（人教版）

书 重点集训营 １．（２０２３柳州期末）如图１，已知 ＡＢ是 ⊙Ｏ的直 径，点Ｄ是⊙Ｏ上异于Ａ，Ｂ的点，点Ｃ是 ) ＢＤ的中点，连 接ＡＤ，ＡＣ，ＢＣ，ＣＤ，过点Ｃ作ＣＥ⊥ＡＤ交ＡＤ的延长线 于点Ｅ．求证：ＣＥ是⊙Ｏ的切线． ２．（２０２２南京二模）如图２，四边形ＡＢＣＤ是菱形， 以ＡＢ为直径作⊙Ｏ，交ＣＢ于点Ｆ，点Ｅ在ＣＤ上，且ＣＥ ＝ＣＦ，连接ＡＥ．求证：ＡＥ是⊙Ｏ的切线． 辅助线周周练 １．（２０２２济南模拟）如图１，在正方形ＡＢＣＤ中，点 Ｅ，Ｆ分别在边ＢＣ，ＣＤ上，且∠ＥＡＦ＝４５°，ＡＥ交ＢＤ于 点Ｍ，ＡＦ交ＢＤ于点Ｎ．若正方形的边长为３，则△ＣＥＦ 的周长是 ． ２．（２０２３郑州期末）如图２，四边形ＡＢＣＤ为矩形， ＡＢ＝３，ＢＣ＝４，点Ｐ是线段ＢＣ上一动点，点Ｍ为线段 ＡＰ上一点，若 ∠ＡＤＭ ＝∠ＢＡＰ，则 ＢＭ的最小值为 ． 提示： １．过点Ａ作ＡＧ⊥ＡＥ，交ＣＤ延长线于点Ｇ，证明 △ＡＢＥ≌△ＡＤＧ，得ＢＥ＝ＤＧ，ＡＥ＝ＡＧ，由∠ＥＡＦ＝ ４５°，证明△ＥＡＦ≌△ＧＡＦ，得ＥＦ＝ＧＦ，故△ＣＥＦ的 周长 ＝ＥＦ＋ＥＣ＋ＣＦ＝ＧＦ＋ＥＣ＋ＣＦ＝ＣＤ＋ＢＣ， 即可得答案． ２．取ＡＤ的中点Ｏ，连接ＯＢ，ＯＭ．证得∠ＡＭＤ＝ ９０°，推出ＯＭ ＝ １２ＡＤ＝２，点Ｍ的运动轨迹是以点 Ｏ为圆心，２为半径的圆．利用勾股定理求出 ＯＢ，由 ＢＭ≥ＯＢ－ＯＭ可得结论． 书 上期２版 ２４．１．１圆 基础训练　１．Ａ；　２．Ｂ；　３．Ａ；　４．无数，１； ５．３６°． ６．证明：因为ＯＡ，ＯＢ是⊙Ｏ的两条半径， 所以ＡＯ＝ＯＢ， 因为Ｃ，Ｄ分别是半径ＯＡ，ＯＢ的中点， 所以ＯＣ＝ＯＤ， 在△ＯＣＢ和△ＯＤＡ中， ＡＯ＝ＢＯ， ∠Ｏ＝∠Ｏ， ＯＤ＝ＯＣ { ， 所以△ＯＣＢ≌△ＯＤＡ（ＳＡＳ），所以ＡＤ＝ＢＣ． 能力提高　７．证明：连接ＯＡ，ＯＣ， 因为ＯＡ＝ＯＢ，ＯＢ＝ＯＣ， 所以∠ＡＢＯ＝∠ＢＡＯ，∠ＣＢＯ＝∠ＢＣＯ， 因为ＢＯ平分∠ＡＢＣ，所以∠ＡＢＯ＝∠ＣＢＯ， 所以∠ＢＡＯ＝∠ＢＣＯ， 在△ＢＡＯ和△ＢＣＯ中， ∠ＡＢＯ＝∠ＣＢＯ， ∠ＯＡＢ＝∠ＯＣＢ， ＯＢ＝ＯＢ { ， 所以△ＯＡＢ≌△ＯＣＢ（ＡＡＳ），所以ＡＢ＝ＢＣ． ２４．１．２垂直于弦的直径 基础训练　１．Ｂ；　２．Ｃ；　３．答案不惟一，大于等于 ４小于５即可，如４．２；　４．１３． 能力提高　５．（１）该圆弧所在圆的半径为２０米． （２）桥墩ＥＦ高４米． ２４．１．３弧、弦、圆心角 基础训练　１．Ａ；　２．１２０°． ３．证明：因为ＯＢ＝ＯＣ， 所以∠Ｂ＝∠Ｃ， 因为ＯＤ∥ＢＣ， 所以∠ＡＯＤ＝∠Ｂ，∠ＣＯＤ＝∠Ｃ， 所以∠ＡＯＤ＝∠ＣＯＤ， 所以 ) ) ＡＤ＝ＣＤ，即Ｄ为 ) ＡＣ的中点． 能力提高　４．∠ＯＤＣ＝４５°．∠ＤＯＢ＝６７５°． ２４．１．４圆周角 基础训练　１．Ｂ；　２．Ｃ；　３．４８°；　４．９９°． ５．（１）证明：因为ＡＢ是⊙Ｏ的直径，ＣＤ⊥ＡＢ， 所以 ) ) ＢＣ＝ＢＤ，所以∠Ａ＝∠２， 又因为ＯＡ＝ＯＣ， 所以∠１＝∠Ａ，所以∠１＝∠２． （２）⊙Ｏ的半径为１３４． 能力提高　６．因为ＡＢ是直径， 所以∠ＡＣＢ＝∠ＡＤＢ＝９０°， 在Ｒｔ△ＡＢＣ中，ＡＢ＝１０ｃｍ，ＡＣ＝６ｃｍ， 所以ＢＣ＝ ＡＢ２－ＡＣ槡 ２ ＝８（ｃｍ）， 因为ＣＤ平分∠ＡＣＢ，所以∠ＡＣＤ＝∠ＢＣＤ，所以 ) ＡＤ ) ＝ＤＢ，所以ＡＤ＝ＢＤ， 在Ｒｔ△ＡＢＤ中，由勾股定理，得ＡＤ２＋ＢＤ２＝ＡＢ２，所 以ＡＤ＝ＢＤ＝ １００槡２ ＝ 槡５２（ｃｍ）． 所以四边形 ＡＣＢＤ的面积 ＝ △ＡＢＣ的面积 ＋△ＡＢＤ的面积 ＝ １ ２×６×８＋ １ ２ × 槡５２× 槡５２＝ ４９（ｃｍ２）． （下转１，４版中缝） 书 重点集训营 １．（２０２３柳州期末）如图１，已知ＡＢ是⊙Ｏ的直 径，点Ｄ是⊙Ｏ上异于Ａ，Ｂ的点，点Ｃ是) ＢＤ的中点，连 接ＡＤ，ＡＣ，ＢＣ，ＣＤ，过点Ｃ作ＣＥ⊥ＡＤ交ＡＤ的延长线 于点Ｅ．求证：ＣＥ是⊙Ｏ的切线． ２．（２０２２南京二模）如图２，四边形ＡＢＣＤ是菱形， 以ＡＢ为直径作⊙Ｏ，交ＣＢ于点Ｆ，点Ｅ在ＣＤ上，且ＣＥ ＝ＣＦ，连接ＡＥ．求证：ＡＥ是⊙Ｏ的切线． 辅助线周周练 １．（２０２２济南模拟）如图１，在正方形ＡＢＣＤ中，点 Ｅ，Ｆ分别在边ＢＣ，ＣＤ上，且∠ＥＡＦ＝４５°，ＡＥ交ＢＤ于 点Ｍ，ＡＦ交ＢＤ于点Ｎ．若正方形的边长为３，则△ＣＥＦ 的周长是． ２．（２０２３郑州期末）如图２，四边形ＡＢＣＤ为矩形， ＡＢ＝３，ＢＣ＝４，点Ｐ是线段ＢＣ上一动点，点Ｍ为线段 ＡＰ上一点，若∠ＡＤＭ＝∠ＢＡＰ，则ＢＭ的最小值为 ． 提示： １．过点Ａ作ＡＧ⊥ＡＥ，交ＣＤ延长线于点Ｇ，证明 △ＡＢＥ≌△ＡＤＧ，得ＢＥ＝ＤＧ，ＡＥ＝ＡＧ