第10期 3.6 弧长及扇形面积的计算 3.7 正多边形与圆(答案见第12期)-【数理报】2023-2024学年九年级(中考)数学学案（青岛版）

书 以几何图形的滚动或旋转为载体，探求在运动过 程中某个点所经过的路线长度（即弧长）的试题是考 试的常见类型题，也是同学们学习的难点，现对这类问 题的解题思路进行分析，供大家参考． 一、旋转三角形 例１　如图１，Ｒｔ△ＡＢＣ 的斜边 ＡＢ在直线 ｌ上，ＡＣ ＝１，ＡＢ＝２．将Ｒｔ△ＡＢＣ绕 点Ｂ在平面内按顺时针方 向旋转，使边ＢＣ落在直线ｌ 上，得到△Ａ１ＢＣ１，再将△Ａ１ＢＣ１绕点Ｃ１在平面内按顺 时针方向旋转，使边 Ａ１Ｃ１ 落到直线 ｌ上，得到 △Ａ２Ｂ１Ｃ１，则点Ａ所经过的路线长为 ． 解析：Ａ转到Ａ１所经过路线是以Ｂ为圆心、以２为 半径、圆心角为１５０°的弧长 ＝１５０π×２１８０ ＝ ５π ３；Ａ１转到 Ａ２所经过路线是以Ｃ１为圆心、以１为半径、圆心角为 ９０°的弧长 ＝９０π×１１８０ ＝ π ２，所以Ａ转到Ａ２所经过路线 长为 ５π ３＋ π ２ ＝ １３π ６．故填 １３π ６． 二、滚动正方形 例２　 如图２，将边长为 槡２ｃｍ的正方形ＡＢＣＤ沿直线 ｌ向右翻转（不滑动），当正方 形连续翻转８次后，正方形的 中心Ｏ经过的路线长是 （　　） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　槡Ａ．８２ｃｍ Ｂ．８ｃｍ Ｃ．３πｃｍ Ｄ．４πｃｍ 解析：因为正方形ＡＢＣＤ的边长为槡２ｃｍ，所以对角 线的一半长为１ｃｍ，则连续翻转８次后，正方形的中心 Ｏ经过的路线长 ＝８×９０π×１１８０ ＝４π（ｃｍ）．故选Ｄ． 三、翻转扇形 例３　（２０２３南昌期中）如图３，扇形ＯＡＢ从图① 无滑动旋转到图②，再由图②到图③（由图②到图③ 的过程中，始终与射线ｌ相切），若∠Ｏ＝６０°，ＯＡ＝１， 则Ｏ点运动的路径长为 ． 解析：如图４，第一段路径为弧长ＯＯ ) １＝ ９０π×１ １８０ ＝ π ２，第二段路径为弧长 ) ＡＢ′＝６０π·１１８０ ＝ π ３，第三段路 径为弧长Ｏ２Ｏ ) ３＝ ９０π·１ １８０ ＝ π ２，即Ｏ点在射线ｌ上运动 的路径长为 π ２＋ π ３＋ π ２ ＝ ４π ３．故填 ４π ３． 书 利用弧长公式ｌ＝ｎπｒ１８０可以直接计算弧长，也可以由 公式变形求圆心角和半径．下面就弧长公式的应用举例 说明如下，供同学们学习参考． 一、求弧长 例１　一学术报告厅门的上沿是圆弧形，这条弧所 在圆的半径为１．８米，所对的圆心角为１００°，则弧长是 米（结果保留π）． 解析：根据弧长公式，得 １００π×１８ １８０ ＝π（米）． 故填π． 二、求半径 例２　已知扇形的圆心角为１２０°，弧长为２π，则它 的半径为 ． 解析：由ｌ＝ｎπｒ１８０，得ｒ＝ １８０ｌ ｎπ ．当ｎ＝１２０°，ｌ＝２π时， 半径ｒ＝１８０×２π１２０π ＝３． 故填３． 三、求圆心角 例３　若半径为５ｃｍ的一段弧长等于半径为２ｃｍ 的圆的周长，则这段弧所对的圆心角为 ． 解析：依题意得２π×２＝ｎπ×５１８０，解得ｎ＝１４４． 故填１４４°． 四、求复杂路径 例４　如图，△ＡＢＣ是正三角 形，曲线ＣＤＥＦ叫做正三角形的渐 开线，其中弧ＣＤ，弧 ＤＥ，弧 ＥＦ的 圆心依次是Ａ，Ｂ，Ｃ，如果ＡＢ＝１， 那么曲线ＣＤＥＦ的长是 ． 解析：正三角形的每一个外角的度数为１２０°，即每 一个扇形圆心角为１２０°． 因为三个扇形的半径依次为１，２，３，所以曲线ＣＤＥＦ 的长 ＝三段弧长的和 ＝１２０×π×１１８０ ＋ １２０×π×２ １８０ ＋ １２０×π×３ １８０ ＝ ２π ３（１＋２＋３）＝４π． 故填４π． 书 １７．（１）△ＢＤＥ为 等腰直角三角形．证明： 因为点Ｅ是△ＡＢＣ的内 心， 所 以 ∠ＦＢＥ ＝ ∠ＡＢＥ，∠ＢＡＥ ＝ ∠ＣＡＥ．因为 ∠ＣＢＤ＝ ∠ＣＡＥ，所以 ∠ＡＢＥ＋ ∠ＢＡＥ ＝ ∠ＢＥＤ ＝ ∠ＦＢＥ ＋ ∠ＣＢＤ ＝ ∠ＤＢＥ．所以ＤＢ＝ＤＥ． 因为 ＡＢ为直径，所以 ∠ＡＤＢ ＝ ９０°，所 以 △ＢＤＥ为等腰直角三角 形． （２）连接ＯＤ，因为 △ＢＤＥ为等腰直角三角 形，ＢＥ＝２，所以ＢＤ＝ ＤＥ＝槡２．因为⊙Ｏ的切 线ＰＤ交ＡＢ的延长线于 点 Ｐ，所以 ∠ＯＤＰ ＝ ９０°．因 为 ∠ＡＰＤ ＝ ３０°，所 以 ∠ＰＯＤ ＝ ６０°，所 以 ∠ＰＡＤ ＝ ３０°．在 Ｒｔ△ＡＢＤ中， ∠ＡＤＢ＝９０°，∠ＰＡＤ＝ ３０°，ＢＤ＝槡２．所以 ＡＤ ＝槡６，所以ＡＥ＝ＡＤ－ ＤＥ＝槡６－槡２． １８．（１）证明：因为 点Ａ关于 ＯＰ的对称点 Ｃ恰好落在 ⊙Ｏ上，所 以 ) ) ＡＰ ＝ ＰＣ， 所 以 ∠ＡＯＰ＝∠ＣＯＰ，所以 ∠ＡＯＰ＝ １２∠ＡＯＣ．又 因 为 ∠ＡＢＣ ＝ １ ２∠ＡＯＣ，所以 ∠ＡＯＰ ＝∠ＡＢＣ，所以 ＯＰ∥ ＢＣ． （２）连接 ＰＣ，因为 ＣＤ为⊙Ｏ的切线，所以 ＯＣ⊥ ＣＤ．又因为 ∠Ｄ ＝９