第14期 25.2.3 列举所有机会均等的结果 第二十五章整章复习(答案见下期)-【数理报】2023-2024学年九年级(中考)数学学案（华东师大版）

书 近年对概率问题的考查，增加了同其他数学知识 的联系，展示了数学的整体性．现举例予以说明． 一、概率与坐标 　　　　　　　　　　　　　　　　　　例１ 从 －２，－６，３中任取两个不同的数作为点 的横、纵坐标，该点在第三象限的概率为 ． 解析：画树状图如图１： 因为共有６种等可能的 结果，该点在第三象限的有 ２种情况，所以该点在第三象 限的概率是 ２ ６ ＝ １ ３． 故填 １ ３． 二、概率与方程 例２　现有４张正面分别标有数字－２，－１，０，１的 不透明卡片，它们除了数字外其余完全相同，将它们背 面朝上洗均匀，随机抽取一张，将该卡片上的数字记为 ｍ，放回后再洗匀并随机抽取一张，将该卡片上的数字 记为ｎ，则满足方程 ｍｘ＋ｎ＝０的解是负数的概率为 ． 解析：画树状图如图２： 共有１６种等可能的结果，其中满足方程ｍｘ＋ｎ＝ ０的解是负数的结果有５种，所以满足方程ｍｘ＋ｎ＝０ 的解是负数的概率是 ５ １６． 故填 ５ １６． 三、概率与四边形 例３　 如图３，在三条横线 和三条竖线组成的图形中，任选 两条横线和两条竖线都可以围 成一个矩形，从这些矩形中任选 一个，则所选矩形含点 Ａ的概率 是 （　　） Ａ．１４ Ｂ． １ ３ Ｃ． ３ ８ Ｄ． ４ ９ 解析：将从左到右的三条竖线分别记作 ａ，ｂ，ｃ，将 从上到下的三条横线分别记作ｍ，ｎ，ｌ，列表如下： 　　竖线 横线　　 ａｂ ｂｃ ａｃ ｍｎ ａｂｍｎ ｂｃｍｎ ａｃｍｎ ｎｌ ａｂｎｌ ｂｃｎｌ ａｃｎｌ ｍｌ ａｂｍｌ ｂｃｍｌ ａｃｍｌ 由表可知共有９种等可能结果，其中所选矩形含点 Ａ的有ｂｃｍｎ，ｂｃｍｌ，ａｃｍｎ，ａｃｍｌ这４种结果，所以所选矩 形含点Ａ的概率为 ４９． 故选Ｄ． 书 在一些游戏中，常常需要通过判断游戏获胜的可能 性来揭露游戏的公平性，那么这时就需要概率这个“裁 判”来主持公道．这种问题在各类考试中经常出现，现 撷取一例解析如下，供同学们参考． 例　一个不透明的袋子中装有４个只有颜色不同 的小球，其中２个红球，２个白球，摇匀后从中一次性摸 出两个小球． （１）请用列表或画树状图的方法列出所有可能性； （２）若摸到两个小球的颜色相同，甲获胜；摸到两 个小球颜色不同，乙获胜．这个游戏对甲、乙双方公平 吗？请说明理由． 分析：（１）根据题意列表格得出所有可能性； （２）根据概率的意义分别求出甲、乙获胜的概率后 比较大小即可． 解：（１）所有可能性如下表． 　　第一个 第二个　　 红１ 红２ 白１ 白２ 红１ （红２，红１）（白１，红１）（白２，红１） 红２ （红１，红２） （白１，红２）（白２，红２） 白１ （红１，白１）（红２，白１） （白２，白１） 白２ （红１，白２）（红２，白２）（白１，白２） （２）不公平，理由如下： 由（１）中表格可知，总共１２种情况，其中摸到两个 小球颜色相同的情况有４种，摸到两个小球颜色不同的 情况有８种，所以甲获胜的概率 ＝４１２＝ １ ３，乙获胜的概 率 ＝ ８１２＝ ２ ３． 因为 １ ３ ＜ ２ ３， 所以这个游戏对甲、乙双方不公平． 温馨提示：用列表法或画树状图法可以不重复、不 遗漏地列出所有可能的结果．通过应用列举法确定出每 一种情况出现的概率，比较相应概率的大小，从而可以 判断进行游戏时获胜的可能性． 书 列表法和画树状图法是求解概率的两种主要方法， 在题目没有特别说明的情况下，用哪种方法比较简便 呢？下面举例说明． 一、画树状图法 当一次试验涉及两步或者多步且出现的等可能性 结果不太多时，常用画树状图法．画树状图法可以直观 地、不重不漏地列出所有可能的结果． 例１　假期前，小明家设计了三种度假方案：参观 动植物园、看电影、近郊露营．妈妈将三种方案分别写在 三张相同的卡片上，小明随机抽取１张后，放回并混在 一起，姐姐再随机抽取１张，则小明和姐姐抽取的度假 方案相同的概率是 ． 解析：把三种度假方案： 参观动植物园、看电影、近 郊露营分别记为 Ａ，Ｂ，Ｃ，画 树状图如图１： 由树状图可知共有 ９种等可能的结果，小明和 姐姐抽取的度假方案相同的结果有３种，所以小明和姐 姐抽取的度假方案相同的概率为 ３ ９ ＝ １ ３．故填 １ ３． 二、列表法 当一次试验涉及两步且出现的等可能性结果较多 时，常用列表法．列表法可以不重不漏地、有条理地列出 所有可能的结果． 例２　 如图２，两个相 同的可以自由转动的转盘Ａ 和Ｂ，转盘Ａ被三等分，分别 标有数字２，０，－１；转盘 Ｂ 被四等分，分别标有数字３， ２，－２，－３．如果同时转动 转盘Ａ，Ｂ，转盘停止时，两个指针指向转盘 Ａ，Ｂ上的对 应数字分别为ｘ，ｙ（当指针指在两个扇形的交线时，需重 新转动转盘），那么点（ｘ，ｙ）落在直角坐标系第二象限 的概率是 ． 解析：列表如下：