第12期 24.4 解直角三角形 第二十四章整章复习(答案见下期)-【数理报】2023-2024学年九年级(中考)数学学案（华东师大版）

书 一、转化思想 例１　如图１，在△ＡＢＣ 中，∠Ｂ＝３０°，ＡＣ＝２，ｃｏｓＣ ＝ ３５，则 ＡＢ边的长为 ． 解析：过点Ａ作ＡＤ⊥ＢＣ于点Ｄ，因为ｃｏｓＣ＝ＣＤＡＣ＝ ３ ５，ＡＣ＝２，所以ＣＤ＝ ６ ５．在Ｒｔ△ＡＣＤ中，由勾股定理 易求得ＡＤ＝ ８５，又因为∠Ｂ＝３０°，所以ＡＢ＝２ＡＤ＝ １６ ５．故填 １６ ５． 二、分类讨论思想 例２　已知等腰三角形的两边长为５和６，则该等腰 三角形底角的余弦值为 ． 解析：如图２，△ＡＢＣ是等腰三 角形，过顶点Ａ作ＡＤ⊥ＢＣ，垂足为 点Ｄ，①当５是底边时，即ＢＣ＝５，所 以ＡＢ＝ＡＣ＝６，所以ＢＤ＝１２ＢＣ＝ ５ ２，所以ｃｏｓ∠Ｂ＝ ＢＤ ＡＢ＝ ５ ２ ６ ＝ ５ １２； ② 当６是底边时，即ＢＣ＝６，所以ＡＢ＝ＡＣ＝５，所以ＢＤ ＝１２ＢＣ＝３，所以ｃｏｓ∠Ｂ＝ ＢＤ ＡＢ＝ ３ ５．综上所述，底角的 余弦值为 ５ １２或 ３ ５．故填 ５ １２或 ３ ５． 三、方程思想 例３　某品牌太阳能热水器 的横断面示意图如图３所示．已 知真空集热管 ＤＥ与支架 ＣＢ所 在直线相交于点Ｏ，且ＯＢ＝ＯＥ， 支架ＢＣ与水平线ＡＤ垂直．ＡＣ＝ ４０ ｃｍ，∠ＡＤＥ ＝ ３０°，ＤＥ ＝ １９０ｃｍ，另一支架ＡＢ与水平线夹角∠ＢＡＤ＝６５°，求ＯＢ 的长度（结果精确到 １ｃｍ；参考数据：ｓｉｎ６５°≈ ０．９１， ｃｏｓ６５°≈０．４２，ｔａｎ６５°≈２．１４）． 解析：设ＯＥ＝ＯＢ＝２ｘｃｍ，则 ＯＤ＝ＤＥ＋ＯＥ＝ （１９０＋２ｘ）ｃｍ．在Ｒｔ△ＯＣＤ中，∠ＡＤＥ＝３０°，所以ＯＣ＝ １ ２ＯＤ＝（９５＋ｘ）ｃｍ，所以ＢＣ＝ＯＣ－ＯＢ＝９５＋ｘ－２ｘ ＝（９５－ｘ）ｃｍ． 在Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠ＢＡＤ＝６５°，ｔａｎ∠ＢＡＤ＝ＢＣＡＣ，即 ２．１４＝９５－ｘ４０ ，解得ｘ≈９，所以ＯＢ＝２ｘ＝１８． 答：ＯＢ的长为１８ｃｍ． 书 一、与坐标系相结合 例１　如图１，在平面直角坐 标系内有一点 Ｐ（３，４），连结 ＯＰ， 则ＯＰ与ｘ轴正方向所夹锐角α的 正弦值是 （　　） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ．３４ Ｂ． ４ ３ Ｃ．３５ Ｄ． ４ ５ 解析：过点Ｐ作ＰＭ⊥ｘ轴于点Ｍ，因为Ｐ（３，４），所 以ＰＭ ＝４，ＯＭ＝３，由勾股定理得ＯＰ＝５，所以ｓｉｎα ＝ＰＭＯＰ＝ ４ ５．故选Ｄ． 二、与四边形相结合 例２　如图２，矩形ＡＯＢＣ的 顶点Ａ，Ｂ在坐标轴上，点Ｃ的坐 标是（－１０，８），点Ｄ在ＡＣ上，将 △ＢＣＤ沿ＢＤ翻折，点 Ｃ恰好落 在ＯＡ边上点Ｅ处，则 ｔａｎ∠ＤＢＥ 等于 （　　） Ａ．３４ Ｂ． ３ ５ Ｃ．槡３３ Ｄ． １ ２ 解析：因为四边形ＡＯＢＣ是矩形，Ｃ（－１０，８），所以 ＢＣ＝ＡＯ＝１０，ＡＣ＝ＯＢ＝８，∠Ａ＝∠ＡＯＢ＝∠Ｃ＝ ９０°． 由折叠的性质可知，ＣＤ ＝ＤＥ，ＢＣ＝ＢＥ＝１０， ∠ＤＥＢ＝∠Ｃ＝９０°，在Ｒｔ△ＢＥＯ中，由勾股定理得ＯＥ ＝ ＢＥ２－ＯＢ槡 ２ ＝６，所以ＡＥ＝ＯＡ－ＯＥ＝４． 设ＣＤ＝ＤＥ＝ｘ，则 ＡＤ＝ＡＣ－ＣＤ＝８－ｘ，在 Ｒｔ△ＡＤＥ中，由勾股定理得 ＡＤ２＋ＡＥ２ ＝ＤＥ２，即（８－ ｘ）２＋４２＝ｘ２，解得ｘ＝５，所以ＤＥ＝５．因为∠ＤＥＢ＝ ９０°，所以ｔａｎ∠ＤＢＥ＝ＤＥＢＥ＝ ５ １０＝ １ ２．故选Ｄ． 三、与旋转结合 例３　如图３，在Ｒｔ△ＡＢＣ 中，∠Ｃ＝９０°，ＡＣ＝６，ＢＣ＝８， 将△ＡＢＣ绕点Ａ逆时针旋转得 到△ＡＢ′Ｃ′，使点Ｃ′落在ＡＢ边 上，连结 ＢＢ′，则 ｓｉｎ∠ＢＢ′Ｃ′的 值为 （　　） Ａ．３５ Ｂ． ４ ５ Ｃ．槡５５ Ｄ． ２槡５ ５ 解析：在Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠Ｃ＝９０°，ＡＣ＝６，ＢＣ＝８， 由勾股定理得ＡＢ＝ ＡＣ２＋ＢＣ槡 ２ ＝１０． 由旋转的性质可知，ＡＣ′＝ＡＣ＝６，Ｂ′Ｃ′＝ＢＣ＝ ８，∠ＡＣ′Ｂ′＝∠Ｃ＝９０°，所以ＢＣ′＝ＡＢ－ＡＣ′＝１０－ ６＝４，所以在 Ｒｔ△ＢＢ′Ｃ′中，由勾股定理得 ＢＢ′＝ ＢＣ′２＋Ｂ′Ｃ′槡 ２ ＝４槡５，所以ｓｉｎ∠ＢＢ′Ｃ′＝ ＢＣ′ ＢＢ′＝ ４ ４槡５ ＝槡５５．故选Ｃ． 书 在解直角三角形中，常常遇到求边长的问题．下面 列举两种技巧供同学们参考． 一、已知斜边求直角边，正弦余弦很方便 例１　在Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠Ｃ＝９０°，ｃｏｓＡ＝３５，ＡＢ＝ １０，则ＢＣ的长为 （　　） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ．３ Ｂ．４ Ｃ．６ Ｄ．８ 解析：根据题意作如图 １， 在 Ｒｔ△ＡＢＣ中，ｃｏｓＡ＝ＡＣＡＢ＝ ３ ５，因为ＡＢ＝１０，所以ＡＣ＝６． 在 Ｒｔ△ＡＢＣ 中，ＢＣ ＝ ＡＢ２－ＡＣ槡 ２ ＝ １０２－６槡 ２ ＝８．故选Ｄ． 二、已知直角边求直角边，正切妙用理当然 例２　如图２，在矩形ＡＢＣＤ 中，ＡＣ是对角线