第16期5.1 二次根式 5.2 二次根式的乘法和除法(答案见下期)-【数理报】2023-2024学年八年级上册数学学案（湘教版）

书 数学思想是数学的灵魂，是研究和解决数学问题的 “金钥匙”，解题时若能灵活应用，则可使同学们的思维 更敏捷、思路更清晰，二次根式化简、求值中的数学思想 主要有以下几种． 一、数形结合思想助力二次根式的化简 例１　实数ａ，ｂ在数轴上的位置如下图所示，化简｜ ａ＋１｜－ （ｂ－１）槡 ２ ＋ （ａ－ｂ）槡 ２ ＝ ． 分析：根据数轴得到ａ，ｂ的取值范围，判断出ａ＋１， ｂ－１，ａ－ｂ的符号，再根据二次根式的性质进行化简． 解：根据数轴，得 －１＜ａ＜０，１＜ｂ＜２． 所以ａ＋１＞０，ｂ－１＞０，ａ－ｂ＜０． 所以｜ａ＋１｜－ （ｂ－１）槡 ２＋ （ａ－ｂ）槡 ２ ＝ａ＋１ －（ｂ－１）＋（ｂ－ａ）＝ａ＋１－ｂ＋１＋ｂ－ａ＝２． 故填２． 二、整体思想巧妙解决二次根式求值问题 例２　已知ｘ２－３ｘ＋１＝０，求 ｘ２＋１ ｘ２ －槡 ２的值． 分析：把已知等式两边除以ｘ，得到ｘ＋１ｘ＝３，再利 用 完 全 平 方 公 式 的 变 形 得 到 所 求 式 ＝ （ｘ＋１ｘ） ２－槡 ４，然后利用整体代入的方法计算． 解：因为ｘ２－３ｘ＋１＝０，所以ｘ－３＋１ｘ ＝０，即ｘ ＋１ｘ ＝３． 所以 ｘ２＋１ ｘ２ －槡 ２＝ （ｘ＋ １ ｘ） ２－槡 ４＝槡５． 三、分类讨论思想在二次根式计算中的应用 例３　已知ｙ＝ ｘ２－４ｘ＋槡 ４－ｘ＋３，当ｘ分别取 １，２，３，…，２０２３时，所对应的ｙ值的总和是 ． 分析：根据二次根式的性质和绝对值的性质化简， 即可得到对应的ｙ值的总和． 解：ｙ＝ ｘ２－４ｘ＋槡 ４－ｘ＋３＝ （ｘ－２）槡 ２－ｘ＋ ３＝｜ｘ－２｜－ｘ＋３． 当ｘ＝１时，ｙ＝３； 当ｘ≥２时，ｙ＝ｘ－２－ｘ＋３＝１，即当ｘ分别取２， ３，…，２０２３时，ｙ的值均为１． 综上所述，当ｘ分别取１，２，３，…，２０２３时，所对应的 ｙ值的总和是：３＋２０２２×１＝２０２５． 故填２０２５． 书 最简二次根式是二次根式运算的基础，当二次根式 化成最简二次根式后，便于进行二次根式的加减运算． 在化简时，很多同学不仔细审题，往往一拿到题目就开 方，造成无法化简或化简错误．现介绍几种类型的二次 根式的化简方法，供同学们参考． 一、先化成因数的乘积，再开方 当被开方数是整数时，应先化成几个因数的乘积， 再开方． 例１　化简槡１２的结果是 （　　） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ．２槡３ Ｂ．３ Ｃ．２槡２ Ｄ．２ 分析：将被开方数１２写成平方数４与３的乘积，再 将平方数４开方即可． 解：槡１２＝ ４×槡 ３＝２槡３． 故选Ａ． 二、先化成分数形式，再开方 当被开方数是小数或带分数时，应先将其化成分数 或假分数的形式，再开方． 例２　化简：（１） ０．槡 ０３；　（２） ２ １ 槡４． 分析：（１）０．０３是小数，在化简时应先将其化为分 数，然后再根据二次根式的性质进行化简； （２）２１４是带分数，不能直接进行开方运算，应先将 带分数化为假分数后，再根据二次根式的性质进行化简． 解：（１） ０．槡 ０３＝ ３ 槡１００＝ 槡３ 槡１００ ＝槡３１０； （２） ２１槡４ ＝ ９ 槡４ ＝ 槡９ 槡４ ＝ ３２． 三、先化成平方形式，再开方 当被开方数是单项式时，应先将被开方数写成含有 平方的形式，再开方． 例３　化简： ４ａ３ｂ槡 ２ ＝ ． 分析：先将４ａ３ｂ２写成２２·ａ２·ｂ２·ａ的形式，再进行 开方运算． 解：由二次根式的定义可知 ａ≥ ０，ｂ≥ ０．所以 ４ａ３ｂ槡 ２ ＝ ２２·ａ２·ｂ２·槡 ａ＝２ａｂ槡ａ． 故填２ａｂ槡ａ． 四、先计算出结果，再开方 当被开方数是数的和（或差）的形式时，应先计算 出其和（或差），再开方． 例４　与 ７２－６２－２槡 ２结果相同的是 （　　） Ａ．７－６＋２ Ｂ．７＋６－２ Ｃ．７＋６＋２ Ｄ．７－６－２ 分析：被开方数是三个数的平方差的形式，不能直 接开方得７－６－２，而应该是先计算，再开方． 解： ７２－６２－２槡 ２ ＝ ４９－３６－槡 ４＝槡９＝３．结合 选项可知Ａ为正确答案． 故选Ａ． !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! " !" #$% " &' ()* 书 （槡ａ） ２与 ａ槡 ２是二次根 式这个“大家庭”中一对形影 不离的“双胞胎”，两者在外 表上的确十分相似，但实质上 却大相径庭，现就这对“双胞 胎”的区分作如下点拨，同学 们可要记清哟！ １．就ａ的取值范围区分 （槡ａ） ２中的被开方数是 ａ，因为负数没有平方根，故 ａ ≥０，而 ａ槡 ２中的被开方数是 ａ２，在实数范围内恒有 ａ２≥ ０，故对任意实数 ａ槡 ２都有意 义． ２．从所表示的意义及结 果上区分 （槡ａ） ２表示非负数 ａ的 算术平方根的平方，结果是非负数 ａ本