第11期 3.1平方根-3.3 实数(答案见第13期)-【数理报】2023-2024学年八年级上册数学学案（湘教版）

书 实数是初中数学的基础内容，又是考试的一个热 点，许多与实数有关的新颖试题频频亮相于各地的数学 试卷中，现以几例说明如下，与同学们共赏析． 一、程序运算型 例１　按下图所示的程序计算，若开始输入的值为 槡１０，则最后输出的结果是 （　　） Ａ．槡１０＋２ Ｂ．槡１０＋４ Ｃ．槡１０＋６ Ｄ．槡１０＋８ 分析：将开始输入的值槡１０代入计算，直到所得的 计算结果大于９时输出即可． 解：第一次输入槡１０，槡１０＋２＜９，则第二次输入 槡１０＋２，槡１０＋４＜９，则第三次输入槡１０＋４，槡１０＋６ ＞９，所以输出的结果为槡１０＋６． 故选Ｃ． 二、定义运算型 例２　用“”定义新运算：对于任意实数ａ，ｂ，都有 ａｂ＝槡ｂ－ａ，如３４＝槡４－３＝－１，那么１２１９６＝ ． 分析：根据新定义ａｂ＝槡ｂ－ａ，对１２１９６进行列 式，然后利用实数的运算即可得出答案． 解：１２１９６＝槡１９６－１２＝１４－１２＝２． 故填２． 三、规律探究型 例３　观察下列一组算式的特征及运算结果，探索 规律： ① １×５＋槡 ４＝槡９＝３； ② ２×６＋槡 ４＝槡１６＝４； ③ ３×７＋槡 ４＝槡２５＝５； ④ ４×８＋槡 ４＝槡３６＝６． （１）通过上式规律计算： ５×９＋槡 ４＝ ， １９×２３＋槡 ４＝ ； （２）用含正整数 ｎ的式子表示上述算式的规律： ； （３）计算： １×５＋槡 ４－ ２×６＋槡 ４＋ ３×７＋槡 ４ － ４×８＋槡 ４＋… ＋ ２０２１×２０２５＋槡 ４． 分析：根据算式的特征找到规律即可． 解：（１） ５×９＋槡 ４＝槡４９＝７， １９×２３＋槡 ４＝ 槡４４１＝２１． 故填７，２１． （２） ｎ（ｎ＋４）＋槡 ４＝ （ｎ＋２）槡 ２ ＝ｎ＋２． （３）原式 ＝３－４＋５－６＋… ＋２０２３＝（－１）× １０１０＋２０２３＝１０１３． !" !" #$ # $ !% ! !" # $ 书 与平方根和立方根有关的题目，为了考查对概念的 理解和性质的掌握情况，常会设置一些“陷阱”，解题时 稍有不慎便会出错．下面就让我们一起来识破这些“陷 阱”吧！ 一、利用平方运算设置“陷阱” 例１　求（－７）２的平方根． 错解：（－７）２的平方根是－７． 剖析：错解习惯性认为 －７的平方为（－７）２，则 （－７）２的平方根就是 －７，没有进一步想到一个正数的 平方根有两个，且它们互为相反数，错解漏掉了一个正 的平方根． 正解：因为（－７）２ ＝４９，４９的平方根是 ±７，所以 （－７）２的平方根是 ±７． 二、利用根号设置“陷阱” 例２　计算：槡６４． 错解：因为（±８）２ ＝６４，所以槡６４＝±８． 剖析：错解混淆了平方根和算术平方根的概念．因 为槡６４表示的是６４的算术平方根，所以本题实际上是 求６４的算术平方根，而不是求６４的平方根． 正解：槡６４＝８． 例３　填空： （１）槡１６的算术平方根是 ； （２） ３槡２７的立方根是 ． 错解：（１）４；　（２）３． 剖析：由于槡１６表示的是算术平方根， ３ 槡２７表示的 是立方根，从而给审题不仔细者一种错觉：（１）是求１６ 的算术平方根，（２）是求２７的立方根．事实上，槡１６＝ ４，所以（１）小题实际上是求４的算术平方根；同样，３槡２７ ＝３，所以（２）小题实际上是求３的立方根． 正解：（１）因为槡１６＝４，所以槡１６即４的算术平方 根是２．故填２． （２）因为 ３槡２７＝３，所以 ３ 槡２７即３的立方根是 ３ 槡３．故 填 ３ 槡３． 三、利用被开方数为带分数设置“陷阱” 例４　求 １９槡１６的值． 错解： １９槡１６＝１＋ ３ ４ ＝１ ３ ４． 剖析：若被开方数为带分数，开方时应先将带分数 转化为假分数后再开方． 正解： １９槡１６＝ ２５ 槡１６＝ ５ ４． 四、利用隐含条件设置“陷阱” 例５　（π－３．１４２）２的算术平方根是 ． 错解：π－３．１４２． 剖析：错解忽视了π－３．１４２＜０的隐含条件，事实 上，一个非负数的算术平方根仍然是一个非负数． 正解：３．１４２－π． ! %" &'( """""""""""""""""""""""""""""""""""""""""" 书 一、分类法 例１　在实数 －槡２，－１，０，１中，最小的是 （　　） 　　　　　 　　　　　 　　　　　Ａ．－槡２ Ｂ．－１ Ｃ．０ Ｄ．１ 解析：－槡２，－１是负实数；１是正实数．根据“正实 数大于０，０大于负实数，正实数大于负实数”可得较小 的实数是 －槡２和 －１．再根据“两个负实数，绝对值大的 反而小”可得 －槡２＜－１． 最小的实数是 －槡２． 故选Ａ． 二、数轴法 例２　实数ａ，ｂ，ｃ在数轴上的对应点的位置如图所 示，若ａ与ｃ互为相反数，则ａ，ｂ，ｃ中绝对值最大的数是 （　　） Ａ