第十七讲 函数y=Asin(ωx+φ)-2023-2024学年高一数学上学期核心题型专练（人教A版2019必修第一册）

第十七讲 函数y=Asin(ωx+φ) 知识点总结 知识点1　1.简谐运动的有关概念 y=Asin(ωx+φ)(A>0, ω>0) 振幅 周期 频率 相位 初相 A T= f= = ωx +φ φ 知识点2 2.用“五点法”画y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)一个周期内的简图时,要找五个特征点 ωx+φ 0 2π x y=Asin(ωx +φ) 0 A 0 -A 0 知识点3. 函数y=sin x的图象经变换得到y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象的两种途径 方法一：．先 ，后周期变换，再振幅变换，不妨采用谐音记忆：我们“想欺负”（相一期一幅）三角函数图像，使之变形． 方法二：．先 ，后相位变换，再 变换． 思路总结：在进行图像变换时，提倡先平移后伸缩（先相位后周期，即“想欺负”），但先伸缩后平移（先周期后相位）在题目中也经常出现，所以必须熟练掌握，无论哪种变化，切记每一个变换总是对变量而言的，即图像变换要看“变量”发生多大变化，而不是“角”变化多少． 典型例题分析 考向一 　函数y=Asin(ωx+φ)的图象及变换 例： 1、要得到函数y=cos(2x-)的图象,可以把函数y=sin 2x的图象 (　　) A.向右平移个单位长度 B.向右平移个单位长度 C.向左平移个单位长度 D.向左平移个单位长度 【解析】选C.由于函数y=cos(2x-) =sin(2x-+)=sin(2x+) =sin[2(x+) ], 因此只需要将函数y=sin 2x的图象向左平移个单位长度即可. 2、把函数y=f(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的,纵坐标不变,再把所得曲线向右平移个单位长度,得到函数y=sin(x-)的图象,则f(x)等于 (　　) A.sin(-) B.sin(+) C.sin(2x-) D.sin(2x+) 【解析】选B.依题意,将y=sin(x-)的图象向左平移个单位长度,得到y=sin(x+-)= sin(x+)的图象,再将所得图象上所有点的横坐标扩大到原来的2倍,得到f(x)的图象,即f(x)=sin(x+). 3.为了得到函数f(x)=cos的图象,只需将函数g(x)=cos x的图象 (　　) A.所有点的横坐标缩短到原来的,纵坐标不变,再将所得图象向左平移个单位长度 B.所有点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再将所得图象向左平移个单位长度 C.向左平移个单位长度,再将所得图象所有点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变 D.向左平移个单位长度,再将所得图象所有点的横坐标缩短到原来的,纵坐标不变 【解析】选D.将函数g(x)=cos x的图象所有点的横坐标缩短到原来的,纵坐标不变,再将所得图象向左平移个单位长度,得到函数 f(x)=cos的图象,故A,B错误; 将函数g(x)=cos x的图象向左平移个单位长度,再将所得图象所有点的横坐标缩短到原来的,纵坐标不变,可以得到函数f(x)=cos(2x+)的图象,故C错误,D正确. 思路总结：函数图象的平移变换解题策略 (1)解题时首先分清原函数与变换后的函数; (2)异名三角函数图象变换要利用诱导公式sin α=cos,cos α=sin将不同名函数转换成同名函数; (3)无论是先平移再伸缩,还是先伸缩再平移,只要平移|φ|个单位,都是自变量x变为x±|φ|,而不是ωx变为ωx±|φ|. 考向二 已知函数图象求解析式 例 函数f(x)=Asin+b (A>0,ω>0,<)的一部分图象如图所示,则 (　　) A.f(x)=3sin+1 B.f(x)=2sin+2 C.f(x)=2sin+2 D.f(x)=2sin+2 【解析】选D.根据题中图象知,所以A=2,b=2,T=4=π,所以ω==2, 又函数图象经过最高点, 代入函数f(x)=2sin+2得 sin=1,因为<,所以φ=, 所以f(x)=2sin+2. 思路总结：确定y=Asin(ωx+φ)+b(0A>0,ω>0)的步骤和方法 (1)求A,b:确定函数的最大值M和最小值m,则A=,b=; (2)求ω:确定函数的周期T,则可得ω=; (3)求φ:常用的方法有: ①代入法:把图象上的一个已知点代入(此时A,ω,b已知)或代入图象与直线y=b的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上). ②五点法:确定φ值时,往往以寻找“五点法”中的某一个点为突破口. 考向三 三角函数图象变换与性质的综合应用 例：如图所示摩天轮的半径为20米,圆心O距地面的高度为25米,摩天轮运行时按逆时针匀速旋转,转一周需要10分钟.摩天轮上的点P的