第14期 4.4 数据的离散程度-4.6 用计算器计算平均数和方差(答案见第16期)-【数理报】2023-2024学年八年级上册数学学案（青岛版）

书 一、极差 例１　（２０２３泰州海陵区一模）某校举行“请党放 心，强国有我”主题演讲比赛，５位评委给选手小明的评 分如下：９，９，８，１０，７，则这组数据的极差是 ． 解析：极差是指一组数据中最大数据与最小数据的 差．根据极差的定义求解即可． 数据９，９，８，１０，７的极差是：１０－７＝３． 故填３． 点评：极差反映了一组数据变化范围的大小．注意： （１）极差的单位与原数据单位一致；（２）如果数据的平 均数、中位数和极差都完全相同，此时用极差来反映数 据的离散程度就显得不准确． 二、方差 例２　（２０２３淮安淮阴区一模）甲、乙两台机床生产 同一种零件，并且每天的产量相等，在随机抽取的６天 中，每天生产零件中的次品数如下表： 甲 ３ ０ ０ ２ ０ １ 乙 １ ０ ２ １ ０ ２ 则甲、乙两台机床中，性能较稳定的是 机 床（填“甲”或“乙”）． 解析：先计算出甲、乙机床每天生产零件中次品数 的平均数，再根据方差的计算公式分别计算出它们的方 差，然后根据方差的意义得到方差小的性能较稳定． 甲的平均数为： １ ６×（３＋０＋０＋２＋０＋１）＝１， 方差为： １ ６×［（３－１） ２＋３×（０－１）２＋（２－１）２ ＋（１－１）２］＝ ４３； 乙的平均数为： １ ６×（１＋０＋２＋１＋０＋２）＝１， 方差为： １ ６×［２×（１－１） ２＋２×（０－１）２＋２×（２ －１）２］＝ ２３． 因为 ４ ３ ＞ ２ ３，所以乙机床的性能较稳定． 故填乙． 例３　水稻科研人员为了比较甲、乙两种水稻秧苗 谁出苗更整齐，每种秧苗各随机抽取６０株，分别量出每 株的高度，发现这两组秧苗的平均高度和中位数均相 同，甲、乙的方差分别是３．６，６．３，则下列说法正确的是 （　　） Ａ．甲秧苗出苗更整齐 Ｂ．乙秧苗出苗更整齐 Ｃ．甲、乙秧苗出苗一样整齐 Ｄ．无法确定甲、乙秧苗出苗谁更整齐 解析：根据方差的意义即可得出结论． 因为甲、乙秧苗的平均高度和中位数均相同，甲、乙 的方差分别是３．６，６．３，而３．６＜６．３， 所以甲秧苗出苗更整齐． 故选Ａ． 点评：方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方 差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数 据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集 中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定． 书 学习了“三数”以及“三差”等统计量，我们可以借助 这些统计量结合统计图综合解决实际问题，这也是近几 年考试的热点内容之一．下面我们选取几例具体说明． 例 １　（２０２３南京玄 武区一模）某校举办“十 佳歌手”演唱比赛，五位评 委进行现场打分，将甲、 乙、丙三位选手的得分情 况整理成下列统计图． 根据以上信息，回答下列问题： （１）完成表格： 平均数 中位数 方差 甲 ８．８ ０．５６ 乙 ８．８ ９ 丙 ８ ０．９６ （２）从三位选手中选一位参加市级比赛，你认为选 谁更合适？请说明理由． （３）在演唱比赛中，将所有评委给出的分数去掉一 个最高分和一个最低分，请求此时甲的方差． 解：（１）表格从左到右、从上到下依次填入９，０．９６， ８．８． （２）选甲更合适．理由如下： 因为三位选手的平均数相同，但甲的方差最小，稳 定性最好，所以选甲更合适． （３）去掉一个最高分和一个最低分后， 甲的平均数为： １ ３×（８＋９＋９）＝ ２６ ３， 方差为： １ ３×［（８－ ２６ ３） ２＋２×（９－２６３） ２］＝２９． 例２　（２０２３长春绿园区二模）【问题情境】数学活 动课上，老师带领同学们开展“利用树叶的特征对树木 进行分类”的实践活动． 【实践发现】同学们随机收集甲、乙两种树的树叶 各１０片，通过测量得到这些树叶的长ｙ，宽ｘ（单位：ｃｍ） 的数据后，分别计算每片树叶自身的长宽比，整理数据 如下： 甲种树树叶的长宽比为：３．７，３．８，３．５，３．４，３．８， ４．０，３．６，４．０，３．６，４．０； 乙种树树叶的长宽比为：２．０，２．０，２．０，２．４，１．８， １．９，１．８，２．０，１．３，１．９． 【实践探究】分析数据如下表： 平均数 中位数 众数 方差 甲种树树叶的长宽比 ３．７４ ｍ ４．０ ０．０４２４ 乙种树树叶的长宽比 ａ １．９５ ｎ ０．０６６９ 【问题解决】 （１）ａ＝ ，ｍ＝ ，ｎ＝ ； （２）Ａ同学说：“从树叶的长宽比的方差来看，我认 为甲种树树叶的形状差别大．”Ｂ同学说：“从树叶的长 宽比的平均数、中位数和众数来看，我发现乙种树树叶 的长约为宽的两倍．”以上两位同学的说法中，相对合理 的是哪位同学？请说明理由． （３）现有一片长１１ｃｍ，宽５．６ｃｍ的树叶，请判断这 片树叶更可能来自于甲、乙两种树中的哪种树？请说明 理由． 解：（１）１．９１，３．７５，２．０． （２）相对合理的是