第十三讲 三角函数的定义-2023-2024学年高一数学上学期核心题型专练（人教A版2019必修第一册）

第十三讲 三角函数的定义 知识点总结 知识点1　角的概念的推广 (1)定义:角可以看成一条射线绕着它的端点旋转所成的图形. (2)分类：按旋转方向不同分为 、 、 。 按终边位置不同分为 、 、 。 (3)终边相同的角:所有与角α终边相同的角,连同角α在内,可构成一个集合S={ ｝ 知识点2 任意角的三角函数 (1)定义 设α是一个任意角,α∈R,它的终边OP与单位圆交于点P(x,y),那么sin α=y,cos α=x,tan α=(x≠0). (2)三角函数值的符号规律 三角函数值在各象限内的符号:一全正、二正弦、三正切、四余弦. (3)任意角的三角函数的定义(推广) 设P(x,y)是角α终边上异于原点O的任一点,其到原点O的距离为r,则sin α=,cos α=,tan α=(x≠0). 知识点3 弧度制 (1)定义:长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角,用符号 rad表示,读作弧度.正角的弧度数是一个 ,负角的弧度数是一个 ,零角的弧度数是 . (2)角α的弧度数公式:在半径为r的圆中,弧长为l的弧所对的圆心角为α rad,则|α|=. (3)角度制和弧度制的互化:180°=π rad,1°= rad≈0.017 45 rad,1 rad=()°≈57.30°=57°18′. (4)扇形的弧长公式:l= 扇形的面积公式:S=lr=| α|·r2. 常用结论： 1.扇环的面积公式S=(l+l′)(r-r′).其中l,l′是扇环的两条弧长,r,r′是两条弧所在圆的半径,且r>r′.　 2.面积(周长)一定的扇形,周长最小(面积最大)时,扇形的弧长l与半径r满足l=2r,即扇形圆心角等于2 rad. 3.若角α∈(0,),则sin α<α<tan α. 典型例题分析 考向一 角及其表示 1.终边在直线y=x上,且在[-2π,2π)内的角α的集合为　　　　.  2.已知α为第三象限角,则是第　　　　象限角,2α是　　　　的角.  考向二 弧度制及其应用 例 已知扇形的圆心角是α,半径为R,弧长为l. (1) 若α=,R=10 cm,求扇形的弧长l; (2) 若扇形的周长是20 cm,当扇形的圆心角α为多少弧度时,这个扇形的面积最大? (3)若α=,R=2 cm,求扇形的弧所在的弓形的面积. 考向三 三角函数定义 三角函数定义的应用 例： 已知角α的终边上一点P(-,m)(m≠0),且sin α=,则cos α=　　　　,tan α=　　　　.  三角函数值的符号判定 例1.已知点P(cos α,tan α)在第二象限,则角α的终边在(　　) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 例2. sin 2·cos 3·tan 4的值(　　) A.小于0 B.大于0 C.等于0 D.不存在 基础题型训练 一、单选题 1．在半径为10的圆中，的圆心角所对弧长为（    ） A． B． C． D． 2．已知函数，则 A．1 B．-1 C． D． 3．若，，则角所在象限是（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 4．斐波那契螺旋线也称“黄金螺旋”，是根据斐波那契数列1,1,2,3,5,8,13…作为正方形的边长拼成长方形后画出来的螺旋曲线(由圆弧拼接而成).斐波那契螺旋线在自然界中很常见，比如海螺的外壳、花瓣、向日葵、台风、水中的漩涡、星系等所呈现的都是斐波那契螺旋.图中所示“黄金螺旋”的长度为（    ） A． B． C． D． 5．已知函数，则（    ） A． B． C． D． 6．《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表.其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为:弧田面积(弦矢+矢).弧田，由圆弧和其所对弦所围成.公式中“弦”指圆弧所对的弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差.现有圆心角为，弦长等于的弧田.按照《九章算术》中弧田面积的经验公式计算所得弧田面积为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 7．下列说法不正确的是(    ) A．三角形的内角是第一象限角或第二象限角 B． C．1弧度的角就是长为半径的弦所对的圆心角 D． 若，则与的终边相同 8．已知，且满足，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 9．若扇形的弧长和半径都是3，则扇形的面积为 . 10． 若点是角终边上的一点，且，则的值是 . 11．已知|sin θ|=﹣sin θ，|cosθ|=cosθ，sinθcosθ≠0,则点P(tanθ,sinθ)在第 象限