第15期 14.1 勾股定理 14.2 勾股定理的应用(答案见第17期)-【数理报】2023-2024学年八年级上册数学学案（华东师大版）

书 １３期２版 １３．４尺规作图 基础训练　１．Ｄ；　２．Ｄ． ３．能确定Ｃ城市的具体位置，图略． １３．５逆命题与逆定理 １３．５．１互逆命题与互逆定理 基础训练　１．Ｃ；　２．有两个角相等的三角形是等腰三角形． ３．（１）真； （２）（１）的逆命题“若ＢＦ＝ＡＥ＝ＣＤ，则△ＤＥＦ是等边三 角形”成立．理由如下： 因为△ＡＢＣ是等边三角形，所以∠ＡＢＣ＝∠ＡＣＢ＝∠ＢＡＣ ＝６０°，ＡＢ＝ＢＣ＝ＣＡ．所以∠ＥＡＦ＝∠ＦＢＤ＝∠ＤＣＥ＝１２０°． 因为ＢＦ＝ＡＥ＝ＣＤ，所以ＡＢ＋ＢＦ＝ＢＣ＋ＣＤ＝ＣＡ＋ＡＥ，即 ＡＦ＝ＢＤ＝ＣＥ．所以△ＡＥＦ≌△ＢＦＤ≌△ＣＤＥ．所以ＥＦ＝ＦＤ ＝ＤＥ．所以△ＤＥＦ是等边三角形． １３．５．２线段垂直平分线 基础训练　１．Ｃ；　２．Ｄ；　３．１４．　４．图略． ５．设ＰＡ交ｌ于点Ｃ，连结ＢＣ，图略．因为ｌ是线段ＡＢ的垂 直平分线，所以ＣＡ＝ＣＢ．所以ＰＡ＝ＣＡ＋ＣＰ＝ＣＢ＋ＣＰ＞ＰＢ． ６．连结ＯＡ，ＯＣ，图略．因为ＯＥ，ＯＦ分别是ＡＣ，ＢＤ的垂直平 分线，所以 ＯＡ＝ＯＣ，ＯＢ＝ＯＤ，∠ＤＦＯ＝９０°．在 △ＡＢＯ和 △ＣＤＯ中，因为ＡＢ＝ＣＤ，ＯＡ＝ＯＣ，ＯＢ＝ＯＤ，所以△ＡＢＯ≌ △ＣＤＯ（Ｓ．Ｓ．Ｓ．）．所以∠ＡＢＯ＝∠ＣＤＯ＝７９°．因为∠ＣＤＢ＝ ３８°，所以∠ＯＤＦ＝∠ＣＤＯ－∠ＣＤＢ＝４１°．所以∠ＤＯＦ＝９０° －∠ＯＤＦ＝４９°． １３．５．３角平分线 基础训练　１．Ｃ；　２．Ｂ；　３．３６． ４．因为ＰＥ∥ＡＢ，ＰＦ∥ＡＣ，所以∠ＤＰＥ＝∠ＢＡＤ，∠ＤＰＦ ＝∠ＣＡＤ．因为 ＡＤ是 △ＡＢＣ的角平分线，所以 ∠ＢＡＤ ＝ ∠ＣＡＤ．所以∠ＤＰＥ＝∠ＤＰＦ．所以点Ｄ到ＰＥ和ＰＦ的距离相等． ５．（１）过点Ｅ作ＥＦ⊥ＡＤ于点Ｆ，图略．因为∠Ｂ＝９０°，所 以ＥＢ⊥ＡＢ．因为ＡＥ平分∠ＢＡＤ，所以ＢＥ＝ＦＥ．因为Ｅ是ＢＣ 的中点，所以ＢＥ＝ＣＥ．所以ＣＥ＝ＦＥ．因为∠Ｃ＝９０°，所以ＥＣ ⊥ＣＤ．所以ＤＥ平分∠ＡＤＣ． （２）因为 ＥＦ⊥ ＡＤ，所以 ∠ＡＦＥ ＝∠ＤＦＥ ＝９０°．在 Ｒｔ△ＡＢＥ和 Ｒｔ△ＡＦＥ中，因为 ＡＥ ＝ＡＥ，ＢＥ ＝ＦＥ，所以 Ｒｔ△ＡＢＥ≌ Ｒｔ△ＡＦＥ（Ｈ．Ｌ．）．所以 ＡＢ＝ＡＦ．在 Ｒｔ△ＤＣＥ和 Ｒｔ△ＤＦＥ中，因为 ＤＥ ＝ＤＥ，ＣＥ ＝ＦＥ，所以 Ｒｔ△ＤＣＥ≌ Ｒｔ△ＤＦＥ（Ｈ．Ｌ．）．所以ＤＣ＝ＤＦ．所以ＡＢ＋ＣＤ＝ＡＦ＋ＤＦ＝ ＡＤ． 能力提高　６．点Ｍ． １３期３版 一、题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ 答案 Ｃ Ｂ Ｃ Ｂ Ｂ Ｃ Ｄ Ａ 二、９．假；　１０．３ｃｍ；　１１．５２°；　１２．直角． 三、１３．图略． １４．因为ＡＤ⊥ＢＣ，所以∠ＡＤＢ＝∠ＡＤＣ＝９０°．因为点Ｄ 到ＡＢ，ＡＣ的距离相等，所以 ∠ＢＡＤ＝∠ＣＡＤ．在 △ＡＢＤ和 △ＡＣＤ中，因为∠ＡＤＢ＝∠ＡＤＣ，ＡＤ＝ＡＤ，∠ＢＡＤ＝∠ＣＡＤ，所 以△ＡＢＤ≌△ＡＣＤ（Ａ．Ｓ．Ａ．）．所以ＢＤ＝ＣＤ． １５．（１）因为ＤＥ垂直平分ＢＣ，所以ＢＥ＝ＣＥ．所以∠ＥＢＣ ＝∠ＥＣＢ．因为ＢＥ＝ＡＣ，所以ＣＥ＝ＡＣ．因为∠ＡＣＥ＝１２°，所 以∠Ａ＝∠ＡＥＣ＝ １２（１８０°－∠ＡＣＥ）＝８４°．因为∠ＡＥＣ＝ ∠ＥＢＣ＋∠ＥＣＢ，所以∠ＥＢＣ＝４２°．因为ＢＦ平分∠ＡＢＣ，所以 ∠ＥＢＦ＝ １２∠ＡＢＣ＝２１°． （２）该命题是假命题．理由如下： 由（１）得∠ＢＥＤ＝∠ＣＥＤ＝ １２（１８０°－∠ＡＥＣ）＝４８°， ∠ＥＦＧ＝∠ＡＥＣ－∠ＥＢＦ＝６３°．所以 ∠ＥＧＦ＝∠ＥＢＧ＋ ∠ＢＥＧ＝６９°．所以△ＥＦＧ不是等腰三角形． １６．（１）连结ＢＤ，ＣＤ，图略．因为Ｄ在ＢＣ的垂直平分线上， 所以ＢＤ＝ＣＤ．因为ＤＥ⊥ＡＢ，ＤＦ⊥ＡＣ，ＡＤ平分∠ＢＡＣ，所以 ∠ＢＥＤ＝∠Ｆ＝９０°，ＤＥ＝ＤＦ．在Ｒｔ△ＢＤＥ和Ｒｔ△ＣＤＦ中，因 为ＢＤ＝ＣＤ，ＤＥ＝ＤＦ，所以Ｒｔ△ＢＤＥ≌Ｒｔ△ＣＤＦ（Ｈ．Ｌ．）．所 以ＢＥ＝ＣＦ． （２）在Ｒｔ△ＡＤＥ和Ｒｔ△ＡＤＦ中，因为ＡＤ＝ＡＤ，ＤＥ＝ＤＦ， 所以Ｒｔ△ＡＤＥ≌ Ｒｔ△ＡＤＦ（Ｈ．Ｌ．）．所以 ＡＥ＝ＡＦ＝６．因为 △ＡＢＣ的周长为２０，所以ＡＢ＋ＡＣ＋ＢＣ＝ＡＥ＋ＢＥ＋ＢＣ＋ＡＣ ＝ＡＥ＋ＣＦ＋ＢＣ＋ＡＣ＝ＡＥ＋ＡＦ＋ＢＣ＝２０．所以ＢＣ＝８． 附加题　１．因为ＤＥ是△ＡＢＤ的高，所以∠ＡＥＤ＝９０°．因 为ＡＤ平分∠ＢＡＣ，∠ＡＣＢ＝９０°，所以ＤＥ＝ＤＣ．在Ｒｔ△ＡＤＥ和 Ｒｔ△ＡＤＣ中，因为 ＡＤ ＝ＡＤ，ＤＥ ＝ＤＣ，所以 Ｒｔ△ＡＤＥ≌ Ｒｔ△ＡＤＣ（Ｈ．Ｌ．）．所以ＡＥ＝ＡＣ．所以ＡＤ垂直平分ＥＣ． ２．连结ＡＡ′交ＢＣ于点Ｄ，延长Ａ′Ａ交Ｂ′Ｃ′于点Ｅ，图略．因 为点Ａ关于ＢＣ边的对称点是Ａ′，所以ＤＡ