第13期 13.4 尺规作图 13.5 逆命题与逆定理(答案见第15期)-【数理报】2023-2024学年八年级上册数学学案（华东师大版）

书 在学习了探索三角形全等的条件后，我们可以借助 全等三角形的知识，根据所给的条件，用尺规作图的方 法作三角形．下面举例说明． 一、已知两边及其夹角作三角形 例１　已知一个三角形的两条边分别为 ａ，ｂ，这两 条边的夹角为∠α，如图１，求作这个三角形． 分析：根据已知条件，可以先作 ∠ＤＢＥ，使其等于 ∠α，然后分别在∠ＤＢＥ的两边截取线段ＢＣ＝ａ，ＢＡ＝ ｂ，连结ＡＣ即可． 作法： （１）先作∠ＤＢＥ＝∠α； （２）然后分别在∠ＤＢＥ的两边上截取 ＢＣ＝ａ，ＢＡ ＝ｂ； （３）连结ＡＣ，则△ＡＢＣ即为所求． 如图２． 温馨提示：①求作三角形时，一般先作出角，然后根 据条件作出所求作的图形；② 尺规作图时，应注意作图 语言的规范性． 二、已知两角及其夹边作三角形 例２　已知一个三角形的两角分别为 ∠α，∠β，夹 边为ｃ，如图３，求作这个三角形． 分析：作出线段ＡＢ＝ｃ，即可确定三角形的两个顶点， 再在ＡＢ边的同一侧，分别以Ａ，Ｂ两点为顶点作两个角等于 已知角，这两个角的另一边的交点就是第三个顶点． 作法： （１）先作线段ＡＢ＝ｃ； （２）再分别以点Ａ，Ｂ两点为顶点，射线ＡＢ，ＢＡ为一 边，在ＡＢ的同一侧作∠ＤＡＢ＝∠α，∠ＥＢＡ＝∠β； （３）ＡＤ，ＢＥ交于点Ｃ，则△ＡＢＣ即为所求． 如图４． 温馨提示：由于已知条件中有一边，所以三角形的 两个顶点容易确定，关键是确定第三个顶点． 三、已知三边作三角形 例３　已知一个三角形的三条边分别为ａ，ｂ，ｃ，如图 ５，求作这个三角形． 分析：先作出△ＡＢＣ的一条边（如ＡＢ＝ｃ），确定出 两个顶点，然后分别以这两个顶点为圆心，以线段ａ，ｂ的 长为半径画出两条弧即可确定第三个顶点． 作法： （１）先作线段ＡＢ＝ｃ； （２）分别以Ｂ，Ａ为圆心，ａ，ｂ为半径画弧交于点Ｃ； （３）连结ＡＣ，ＢＣ，则△ＡＢＣ即为所求． 如图６． 温馨提示：利用尺规作三角形时，一定要注意分析 条件，确定出基本的图形，画出草图，进而确定作图的方 法和步骤． 如图７，已知线段ａ和∠β，求作：△ＡＢＣ，使ＢＣ＝ａ， 且ＡＢ＝ＡＣ，∠Ｂ＝ １２∠β． 书 角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的 距离相等． 角平分线的判定定理：角的内部到角两边距离相等 的点在角的平分线上． 一、求点到直线的距离 例１　 如图 １，在 △ＡＢＣ中， ∠Ｃ＝９０°．若ＡＣ＝９，ＤＣ＝１３ＡＣ， ＢＤ平分∠ＡＢＣ，则点Ｄ到ＡＢ的距 离等于 （　　） Ａ．４　　　　Ｂ．３　　　　Ｃ．２　　　　Ｄ．１ 解：过点Ｄ作ＤＨ⊥ＡＢ于点Ｈ，如图１．因为ＡＣ＝９， ＤＣ＝ １３ＡＣ，所以ＤＣ＝３．因为ＢＤ平分∠ＡＢＣ，∠Ｃ＝ ９０°，ＤＨ⊥ＡＢ，所以ＣＤ＝ＤＨ＝３，即点Ｄ到ＡＢ的距离 等于３．故选Ｂ． 二、求三角形的面积 例２　如图２，在四边形ＡＢＣＤ 中，ＤＥ⊥ ＢＣ，ＢＤ平分 ∠ＡＢＣ， ＡＢ＝６，ＤＥ＝４，则△ＡＢＤ的面 积是 （　　） Ａ．２４ Ｂ．１８ Ｃ．１２ Ｄ．６ 解：过点Ｄ作ＤＦ⊥ＡＢ交ＢＡ的延长线于点Ｆ，如图 ２．又因为ＢＤ平分∠ＡＢＣ，ＤＥ⊥ＢＣ，所以ＤＥ＝ＤＦ＝４． 因为ＡＢ＝６，所以Ｓ△ＡＢＤ ＝ １ ２ＡＢ·ＤＦ＝１２．故选Ｃ． 三、说明面积之间的数量关系 例３　如图３，在△ＡＢＣ中， ∠ＣＡＢ和∠ＣＢＡ的平分线交于 点Ｐ，连结ＰＣ．若△ＰＡＢ，△ＰＢＣ， △ＰＡＣ的面积分别为 Ｓ１，Ｓ２，Ｓ３， 则 （　　） Ａ．Ｓ１ ＜Ｓ２＋Ｓ３ Ｂ．Ｓ１ ＝Ｓ２＋Ｓ３ Ｃ．Ｓ１ ＞Ｓ２＋Ｓ３ Ｄ．无法确定Ｓ１与Ｓ２＋Ｓ３的大小 解：过点Ｐ分别作ＰＤ⊥ＡＢ于点Ｄ，ＰＥ⊥ＡＣ于点Ｅ， ＰＦ⊥ＢＣ于点Ｆ，如图３．因为∠ＣＡＢ和∠ＣＢＡ的平分线 交于点Ｐ，所以ＰＤ＝ＰＥ＝ＰＦ．因为Ｓ２＝ １ ２ＢＣ·ＰＦ，Ｓ３ ＝ １２ＡＣ·ＰＥ，所以Ｓ２＋Ｓ３ ＝ １ ２（ＡＣ＋ＢＣ）·ＰＤ．因为 Ｓ１ ＝ １ ２ＡＢ·ＰＤ，ＡＢ＜ＡＣ＋ＢＣ，所以 Ｓ１ ＜Ｓ２＋Ｓ３．故 选Ａ． 四、求角度 例４　如图４，ＡＣ，ＢＤ是四边形ＡＢＣＤ的对角线，ＢＤ 平分∠ＡＢＣ，２∠ＡＣＤ＝∠ＡＢＣ＋ ∠ＢＡＣ，已知 ∠ＣＡＤ ＝４３°，则 ∠ＢＤＣ＝ ． 解：过点Ｄ分别作ＤＥ⊥ＢＣ 交ＢＣ的延长线于点Ｅ，ＤＦ⊥ＡＢ 交ＢＡ的延长线于点Ｆ，ＤＧ⊥ＡＣ 于点Ｇ，如图４．因为 ＢＤ平分 ∠ＡＢＣ，ＤＥ⊥ ＢＣ，ＤＦ⊥ ＡＢ，所以∠ＤＢＣ＝１２∠ＡＢＣ，ＤＦ＝ＤＥ．因为２∠ＡＣＤ＝ ∠ＡＢＣ＋∠ＢＡＣ，∠ＡＣＥ＝∠ＡＢＣ＋∠ＢＡＣ，所以∠ＡＣＥ ＝２∠ＡＣＤ，即ＣＤ平分∠ＡＣＥ．又因为ＤＥ⊥ＢＣ，ＤＧ⊥ ＡＣ，所以ＤＥ＝ＤＧ．所以ＤＦ＝ＤＧ．所以ＡＤ平分∠ＣＡＦ． 因为∠ＣＡＤ＝４３°，所以∠ＣＡＦ＝２∠ＣＡＤ＝８６°．所以 ∠ＢＡＣ＝１８０°－∠ＣＡＦ＝９４°．所以∠ＢＤＣ＝∠ＤＣ