第12期 13.3 等腰三角形(答案见下期)-【数理报】2023-2024学年八年级上册数学学案（华东师大版）

书 上期１，２版 一、 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ １０１１１２ 答案 Ｃ Ａ Ａ Ｃ Ｂ Ｂ Ａ Ｂ Ｃ Ｄ Ａ Ｃ 二、１３．两个三角形等底等高，这两个三角形的面积 相等；　１４．４，槡１７－４；　１５．１０；　１６．４． 三、１７．（１）ｂ（ａ＋２）（ａ－２）；　（２）４００． １８．（１）原式 ＝ｘ２－２ｙ． 当ｘ＝１，ｙ＝ １２时，原式 ＝０． （２）原式 ＝２－ｍｎ． 由题意，得ｍｎ＝１０．所以原式 ＝－８． １９．因为槡１６＝ｘ， ３ 槡ｙ＝２，ｚ是４９的算术平方根，所 以ｘ＝４，ｙ＝８，ｚ＝７．所以２ｘ＋ｙ－２ｚ＝２．所以２ｘ＋ｙ －２ｚ的平方根是 ±槡２． ２０．因为ＢＣ＝Ｂ′Ｃ′，Ｄ，Ｄ′分别是ＢＣ，Ｂ′Ｃ′的中点， 所以ＢＤ＝Ｂ′Ｄ′．在 △ＡＢＤ和 △Ａ′Ｂ′Ｄ′中，因为 ＡＢ＝ Ａ′Ｂ′，ＢＤ ＝ Ｂ′Ｄ′，ＡＤ ＝ Ａ′Ｄ′， 所 以 △ＡＢＤ ≌ △Ａ′Ｂ′Ｄ′（Ｓ．Ｓ．Ｓ．）．所以 ∠Ｂ ＝∠Ｂ′．在 △ＡＢＣ和 △Ａ′Ｂ′Ｃ′中，因为ＡＢ＝Ａ′Ｂ′，∠Ｂ＝∠Ｂ′，ＢＣ＝Ｂ′Ｃ′，所 以△ＡＢＣ≌△Ａ′Ｂ′Ｃ′（Ｓ．Ａ．Ｓ．）． ２１．（１）由题意知，Ｂ＝（ｘ＋２）（ｘ＋ａ）＝ｘ２＋（ａ＋ ２）ｘ＋２ａ． 因为Ｂ中的常数项为１０，所以２ａ＝１０．解得ａ＝５． （２）设Ａ为ｘ２＋ｔｘ＋１，则Ｂ＝（ｘ＋２）（ｘ２＋ｔｘ＋１） ＝ｘ３＋（ｔ＋２）ｘ２＋（２ｔ＋１）ｘ＋２＝ｘ３＋ｐｘ２＋ｑｘ＋２．所 以ｐ＝ｔ＋２，ｑ＝２ｔ＋１，所以２ｐ－ｑ＝２（ｔ＋２）－（２ｔ＋ １）＝３． ２２．（１）△ＢＰＥ与△ＣＱＰ全等．理由如下： 根据题意，得ＢＰ＝ＣＱ＝５×１＝５（ｃｍ）．所以ＣＰ ＝ＢＣ－ＢＰ＝１０ｃｍ．因为 Ｅ为 ＡＢ的中点，所以 ＢＥ＝ １ ２ＡＢ＝１０ｃｍ．所以ＢＥ＝ＣＰ．在△ＢＰＥ和△ＣＱＰ中，因 为ＢＥ ＝ＣＰ，∠Ｂ ＝∠Ｃ，ＢＰ ＝ＣＱ，所以 △ＢＰＥ≌ △ＣＱＰ（Ｓ．Ａ．Ｓ．）． （２）当点Ｑ的运动速度与点 Ｐ的运动速度不相等 时，ＢＰ≠ＣＱ．因为∠Ｂ＝∠Ｃ，△ＢＰＥ与△ＣＰＱ全等，所 以 ＢＰ＝ＣＰ＝１２ＢＣ＝７．５ｃｍ，ＢＥ＝ＣＱ＝１０ｃｍ．所以 点Ｑ的运动时间为：７．５÷５＝１．５（ｓ）．所以点Ｑ的运动 速度为：１０÷１．５＝２０３（ｃｍ／ｓ）． 上期３，４版 一、 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ １０１１１２ 答案 Ｃ Ｂ Ａ Ｂ Ｃ Ｂ Ｄ Ｂ Ｄ Ｄ Ａ Ｃ 二、１３．槡３＋１；　１４．４；　１５．５ ２２ ＜４３３ ＜３４４； １６．２． 三、１７．（１）２ａ４；　（２）ｘ２－ｘｙ． １８．（１）原式 ＝（ｘ－３）（ｘ＋２）（ｘ－２）． 当ｘ＝－５时，原式 ＝－１６８． （２）原式 ＝４（ｂ＋３）（ａ＋ｂ）２． 当ａ＝２，ｂ＝－２时，原式 ＝０． １９．（１）因为 ＢＥ⊥ ＡＣ，ＣＦ⊥ ＡＢ，所以 ∠ＣＥＤ＝ ∠ＢＦＤ＝９０°．由对顶角相等，得 ∠ＢＤＦ＝∠ＣＤＥ．在 △ＢＤＦ和△ＣＤＥ中，因为 ∠ＢＦＤ＝∠ＣＥＤ，∠ＢＤＦ＝ ∠ＣＤＥ，ＢＤ＝ＣＤ，所以△ＢＤＦ≌△ＣＤＥ（ＡＡＳ）． （２）因为△ＢＤＦ≌△ＣＤＥ，所以ＤＦ＝ＤＥ．因为ＢＥ ⊥ ＡＣ，ＣＦ⊥ ＡＢ，所以 ∠ＡＥＤ ＝∠ＡＦＤ ＝９０°．在 Ｒｔ△ＡＤＥ和Ｒｔ△ＡＤＦ中，因为ＡＤ＝ＡＤ，ＤＥ＝ＤＦ，所以 Ｒｔ△ＡＤＥ≌Ｒｔ△ＡＤＦ（Ｈ．Ｌ．）．所以∠ＤＡＥ＝∠ＤＡＦ，即 ＡＤ平分∠ＢＡＣ． ２０．（１）８９２； （２）ｎ（ｎ＋１）（ｎ＋２）（ｎ＋３）＋１＝（ｎ２＋３ｎ＋１）２． 理由如下： 因为ｎ（ｎ＋１）（ｎ＋２）（ｎ＋３）＋１＝（ｎ２＋ｎ）（ｎ２＋ ５ｎ＋６）＋１＝ｎ４＋６ｎ３＋１１ｎ２＋６ｎ＋１，（ｎ２＋３ｎ＋１）２ ＝（ｎ２＋３ｎ）２＋２（ｎ２＋３ｎ）＋１＝ｎ４＋６ｎ３＋１１ｎ２＋６ｎ ＋１，所以ｎ（ｎ＋１）（ｎ＋２）（ｎ＋３）＋１＝（ｎ２＋３ｎ＋１）２． （下转２，３版中缝） 书 策略１：三条边都相等 的三角形是等边三角形 例１　 如图１，在等腰 △ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ，ＡＦ为 ＢＣ边上的中线，Ｄ为 ＡＦ上 的一点，且ＢＤ＝ＢＣ．求证： △ＢＣＤ是等边三角形． 证明：因为 ＡＢ＝ＡＣ， ＡＦ为ＢＣ边上的中线，所以 ＡＦ⊥ＢＣ，ＢＦ＝ＣＦ． 所以 ∠ＤＦＢ＝∠ＤＦＣ ＝９０°． 在△ＢＦＤ和△ＣＦＤ中，因为ＢＦ＝ＣＦ，∠ＤＦＢ＝ ∠ＤＦＣ，ＤＦ＝ＤＦ，所以△ＢＦＤ≌△ＣＦＤ（Ｓ．Ａ．Ｓ．）． 所以ＢＤ＝ＤＣ． 因为ＢＤ＝ＢＣ，所以ＢＤ＝ＤＣ＝ＢＣ． 所以△ＢＣＤ是等边三角形． 策略２：三个角都相等的三角形是等边三角形 例２　如图２，ＡＢ∥ＤＣ，ＤＢ平 分∠ＡＤＣ，∠Ａ＝６０°．求证：△ＡＢＤ 是等边三角形． 证明：因为 ＡＢ∥ ＤＣ，∠Ａ＝ ６０°，所以 ∠ＡＢＤ＝∠ＣＤＢ，∠ＡＤＣ