第10期 13.2 三角形全等的判定（2)(答案见下期)-【数理报】2023-2024学年八年级上册数学学案（华东师大版）

书 问题：如图 １，已知 ＡＣ∥ ＢＤ，ＡＥ，ＢＥ分别平分 ∠ＣＡＢ， ∠ＤＢＡ，且ＣＤ经过点 Ｅ，试判断 ＡＢ与ＡＣ＋ＢＤ的数量关系，并说 明理由． 方法一：截长法 思路分析：在线段ＡＢ上截取ＡＦ＝ＡＣ，连结ＥＦ，根据 “Ｓ．Ａ．Ｓ．”可得△ＣＡＥ≌△ＦＡＥ，则∠Ｃ＝∠ＡＦＥ，从而得 出∠ＥＦＢ＝∠Ｄ．根据“Ａ．Ａ．Ｓ．”可得△ＢＥＦ≌△ＢＥＤ， 则ＢＦ＝ＢＤ，从而得到ＡＢ与ＡＣ＋ＢＤ的数量关系． 解：ＡＢ＝ＡＣ＋ＢＤ．理由如 下： 如图２，在ＡＢ上截取 ＡＦ＝ ＡＣ，连结ＥＦ． 因为 ＡＥ平分 ∠ＣＡＢ，所以 ∠ＣＡＥ＝∠ＦＡＥ． 在△ＣＡＥ和△ＦＡＥ中， 因为ＡＣ＝ＡＦ，∠ＣＡＥ＝∠ＦＡＥ，ＡＥ＝ＡＥ， 所以△ＣＡＥ≌△ＦＡＥ（Ｓ．Ａ．Ｓ．）． 所以∠Ｃ＝∠ＡＦＥ． 因为ＡＣ∥ＢＤ，所以∠Ｃ＋∠Ｄ＝１８０°． 因为∠ＥＦＢ＋∠ＡＦＥ＝１８０°，所以∠ＥＦＢ＝∠Ｄ． 因为ＢＥ平分∠ＤＢＡ，所以∠ＦＢＥ＝∠ＤＢＥ． 在△ＢＥＦ和△ＢＥＤ中， 因为∠ＥＦＢ＝∠Ｄ，∠ＦＢＥ＝∠ＤＢＥ，ＢＥ＝ＢＥ， 所以△ＢＥＦ≌△ＢＥＤ（Ａ．Ａ．Ｓ．）． 所以ＢＦ＝ＢＤ． 因为ＡＢ＝ＡＦ＋ＢＦ，所以ＡＢ＝ＡＣ＋ＢＤ． 方法二：补短法 思路分析：延长ＡＣ到点Ｆ，使ＡＦ＝ＡＢ，连结ＥＦ．根 据“Ｓ．Ａ．Ｓ．”可得△ＡＥＦ≌△ＡＥＢ，则∠Ｆ＝∠ＡＢＥ，ＥＦ ＝ＥＢ．再根据“Ａ．Ａ．Ｓ．”可得△ＣＥＦ≌△ＤＥＢ，则ＦＣ＝ ＢＤ，从而得出ＡＢ与ＡＣ＋ＢＤ的数量关系． 解：ＡＢ＝ＡＣ＋ＢＤ．理由如下： 如图３，延长 ＡＣ至点 Ｆ，使 ＡＦ＝ＡＢ，连结ＥＦ． 因为 ＡＥ平分 ∠ＣＡＢ，所以 ∠ＦＡＥ＝∠ＢＡＥ． 在△ＡＥＦ和△ＡＥＢ中， 因为 ＡＦ ＝ＡＢ，∠ＦＡＥ ＝ ∠ＢＡＥ，ＡＥ＝ＡＥ， 所以△ＡＥＦ≌△ＡＥＢ（Ｓ．Ａ．Ｓ．）． 所以∠Ｆ＝∠ＡＢＥ，ＥＦ＝ＥＢ． 因为ＢＥ平分∠ＤＢＡ，所以∠ＤＢＥ＝∠ＡＢＥ． 所以∠Ｆ＝∠ＤＢＥ． 因为ＡＣ∥ＢＤ，所以∠ＦＣＥ＝∠Ｄ． 在△ＣＥＦ和△ＤＥＢ中， 因为∠ＦＣＥ＝∠Ｄ，∠Ｆ＝∠ＤＢＥ，ＥＦ＝ＥＢ， 所以△ＣＥＦ≌△ＤＥＢ（Ａ．Ａ．Ｓ．）． 所以ＦＣ＝ＢＤ． 因为ＡＢ＝ＡＦ＝ＡＣ＋ＦＣ， 所以ＡＢ＝ＡＣ＋ＢＤ． 温馨提示：截长法和补短法是解决全等三角形中线 段的和、差、倍、分等题目的常用方法．若题目的条件或 待求结论中含有“ａ＝ｂ＋ｃ”，需要添加辅助线时，应考 虑截长法或补短法，其具体做法为：在最长的线段上截 取一条线段与较短的线段相等，或是将一条较短的线段 延长，使之与最长的线段相等，再利用全等三角形的知 识进行说明． 书 在实际应用中，对于一些不能直接测量的距离，可 以构造全等三角形来完成测量．现举例说明． 一、计算砖块的厚度 例１　如图１，课间小聪拿 着老师的等腰直角三角板玩， 不小心掉到两墙之间，小聪用 三角板量出 ＣＥ＝１２ｃｍ，于是 小聪很快就知道了砌墙砖块的 厚度（每块砖的厚度相等）．你知道他是怎样算出来的 吗？砌墙砖块的厚度是多少？ 解：由题意可知 ∠ＡＣＢ＝∠ＡＤＣ＝∠ＣＥＢ＝９０°， ＡＣ＝ＣＢ． 所以 ∠ＤＡＣ＋∠ＡＣＤ ＝９０°，∠ＥＣＢ＋∠ＡＣＤ ＝ ９０°． 所以∠ＤＡＣ＝∠ＥＣＢ． 在△ＡＤＣ和△ＣＥＢ中，因为∠ＡＤＣ＝∠ＣＥＢ，∠ＤＡＣ ＝∠ＥＣＢ，ＡＣ＝ＣＢ，所以△ＡＤＣ≌△ＣＥＢ（Ａ．Ａ．Ｓ．）． 所以ＡＤ＝ＣＥ＝１２ｃｍ． 所以砌墙砖块的厚度是４ｃｍ． 二、测量斜坡上一点的竖直高度 例２　 如图 ２，ＡＤ是一段斜坡， ＡＢ是水平线，现为了测量斜坡上一点 Ｄ的竖直高度ＤＢ的长度，欢欢在Ｄ处 立上一竹竿ＣＤ，并保证ＣＤ⊥ＡＤ，然 后在竿顶Ｃ处垂下一根绳ＣＥ，与斜坡 的交点为点Ｅ，他调整好绳子ＣＥ的长度，使得ＣＥ＝ＡＤ， 此时他测得ＤＥ＝２米，求ＢＤ的长度． 解：如图２，延长ＣＥ交ＡＢ于点Ｆ． 因为∠Ａ＋∠１＝９０°，∠Ｃ＋∠２＝９０°，∠１＝∠２， 所以∠Ａ＝∠Ｃ． 在△ＡＢＤ和△ＣＤＥ中，因为∠ＡＢＤ＝∠ＣＤＥ，∠Ａ ＝∠Ｃ，ＡＤ＝ＣＥ，所以△ＡＢＤ≌△ＣＤＥ（Ａ．Ａ．Ｓ．）． 所以ＢＤ＝ＤＥ＝２米． 三、测量土地的面积 例３　如图３，有一块不规 则土地ＡＢＣＤ，分别被甲、乙二 人承包，一条公路 ＧＥＦＨ穿过 这块土地，ＥＦ左边是甲的土 地，右边是乙的土地，ＡＢ∥ ＣＤ．为了方便通行，决定将这 条公路尽量修直，但要求甲、 乙二人的土地面积不变．请你设计一种方案，解决这个 问题，并说明理由． 解：取ＥＦ的中点Ｏ，连结ＧＯ并延长交ＦＨ于点Ｍ，ＧＭ 分别交ＡＢ，ＣＤ于点Ｐ，Ｑ，如图３，ＧＭ就是修直后的公路． 理由如下： 因为ＡＢ∥ＣＤ，所以∠ＰＥＯ＝∠ＱＦＯ． 因为点Ｏ是ＥＦ的中点，所以ＥＯ＝ＦＯ． 由对顶角相等，得∠ＥＯＰ＝∠ＦＯＱ． 在△ＥＯＰ和△ＦＯＱ中，因为 ∠ＰＥＯ＝