3.3.1 抛物线及其标准方程（5大题型）精讲-【题型分类归纳】2023-2024学年高二数学同步讲与练（人教A版2019选择性必修第一册）

3.3.1 抛物线及其标准方程 重点：掌握抛物线的定义及其焦点、准线的概念； 难点：明确p的几何意义，并能解决简单的求抛物线标准方程问题。 一、抛物线的定义 1、定义：把平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)距离相等的点的轨迹. 2、焦点：定点F抛物线的焦点. 3、准线：直线l叫做抛物线的准线. 4、集合表示：. 5、注意事项： （1）定点F不在定直线l上，否则动点M的轨迹不是抛物线，而是过点F垂直于直线l的一条直线． （2）抛物线的定义中指明了抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离的等价性，故二者可相互转化，这也是利用抛物线定义解题的实质． 二、抛物线的标准方程 标准方程 图形 焦点坐标 准线方程 三、由抛物线方程求焦点与准线方程的基本方法 1、已知抛物线方程求焦点坐标与准线方程时，一般先将所给方程式化为标准形式，由焦点方程准确得到参数，从而得焦点坐标与准线方程，要注意； 2、焦点所在坐标轴由标准方程的一次项确定， 系数为正，焦点在正半轴；系数为负，焦点在负半轴。 四、求抛物线标准方程的方法 1、直接法：直接利用题中已知条件确定焦参数； 2、待定系数法：先设出抛物线的方程，再根据题中条件，确定焦参数.当焦点位置不确定时，应分类讨论或设抛物线方程为或； 注意：（1）已知焦点坐标或准线方程可确定抛物线标准方程的形式； （2）已知抛物线过某点不能确定抛物线标准方程的形式，需根据四种抛物线的图形及开口方向确定。 题型一 对抛物线定义的理解 【例1】（2022秋·北京·高二校考期中）若抛物线上的点P到直线的距离等于4，则点P到焦点F的距离（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式1-1】（2023秋·全国·高二期中）已知抛物线C：的顶点为O，经过点，且F为抛物线C的焦点，若，则p＝（ ） A． B．1 C． D．2 【变式1-2】（2023春·江苏盐城·高二校联考阶段练习）抛物线的焦点到准线的距离是（ ）. A． B． C．2 D．4 【变式1-3】（2023·全国·高二专题练习）抛物线上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是（ ） A． B． C． D．0 题型二 求抛物线的标准方程 【例2】（2023秋·湖南株洲·高二校考阶段练习）焦点坐标为的抛物线的标准方程是（ ） A． B． C． D． 【变式2-1】（2023秋·河南焦作·高二学校考阶段练习）顶点在原点，准线方程为的抛物线方程为（ ） A． B． C． D． 【变式2-2】（2023·全国·高二专题练习）经过点的抛物线的标准方程是（ ） A．或 B．或 C．或 D．或 【变式2-3】（2023·全国·高二专题练习）（多选）已知抛物线的焦点在直线上，则抛物线的标准方程为（ ） A． B． C． D． 题型三 与抛物线有关的轨迹问题 【例3】（2023·全国·高二专题练习）已知圆：与定直线：，动圆与圆外切且与直线相切，记动圆的圆心的轨迹为曲线，则曲线的方程为 . 【变式3-1】（2023·全国·高二专题练习）在平面坐标系中，动点P和点满足，则动点的轨迹方程为 ． 【变式3-2】（2023·全国·高二假期作业）已知点P是曲线上任意一点，，连接PA并延长至Q，使得，求动点Q的轨迹方程． 【变式3-3】（2023·全国·高二专题练习）已知抛物线的焦点为，到双曲线的渐近线的距离为. （1）求抛物线的标准方程； （2）过动点作抛物线的切线（斜率不为0），切点为，求线段的中点的轨迹方程. 题型四 抛物线中距离和差的最值 【例4】（2023秋·江苏南京·高二校联考阶段练习）已知抛物线的焦点为F，点，若点A为抛物线任意一点，当取最小值时，点A的坐标为（ ） A． B． C． D． 【变式4-1】（2023春·河南周口·高二统考期中）已知点是抛物线上的一点，过点作直线的垂线，垂足为，若，则的最小值为（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式4-2】（2023·全国·高二专题练习）已知直线和直线，抛物线上一动点到直线和距离之和的最小值是（ ） A． B．2 C．