第13期 双曲线-【数理报】新教材2023-2024学年高二数学选择性必修第一册同步学案（人教A版2019）

书书书 １８． （１２ 分 ） 已 知 双 曲 线 的 中 心 为 原 点 ， 对 称 轴 为 坐 标 轴 ， 且 过 点 Ａ （ － 槡 ２ ７ ， － ３ ） ，Ｂ （７ ， 槡 ６ ２ ） ，求 双 曲 线 的 方 程 ． １９． （１２ 分 ） 已 知 双 曲 线 的 中 心 在 原 点 ， 焦 点 Ｆ １ ，Ｆ ２ 在 坐 标 轴 上 ， 离 心 率 为 槡 ２ ，且 过 点 （４ ， － 槡 １０ ）． （１ ） 求 此 双 曲 线 的 方 程 ； （２ ） 若 直 线 ｋｘ － ｙ － ３ｋ ＋ ｍ ＝ ０ （ 其 中 ｋ 为 参 数 ） 所 过 的 定 点 Ｍ 恰 在 双 曲 线 上 ，求 证 ：Ｆ １ Ｍ ⊥ Ｆ ２ Ｍ ． ２０．（１２ 分 ） （２０２３ 四 川 省 乐 山 市 高 二 教 学 质 量 检 测 ） 已 知 双 曲 线 的 方 程 是 ４ｘ ２ － ９ｙ ２ ＝ ３６． （１ ） 求 双 曲 线 的 焦 点 坐 标 、离 心 率 和 渐 近 线 方 程 ； （２ ） 设 Ｆ １ 和 Ｆ ２ 是 双 曲 线 的 左 、右 焦 点 ，点 Ｐ 在 双 曲 线 上 ， 且 ｜ ＰＦ １ ｜· ｜ ＰＦ ２ ｜ ＝ １６ ，求 ∠ Ｆ １ ＰＦ ２ 的 大 小 ． ２１． （１２ 分 ） 已 知 双 曲 线 Ｃ ： ｘ ２ ａ ２ － ｙ ２ ｂ ２ ＝ １ （ａ ＞ ０ ，ｂ ＞ ０ ） 与 椭 圆 ｘ ２ １８ ＋ ｙ ２ １４ ＝ １ 有 共 同 的 焦 点 ，点 Ａ （ ３ ，槡 ７ ） 在 双 曲 线 Ｃ 上 ． （１ ） 求 双 曲 线 Ｃ 的 方 程 ； （ ２ ） 以 Ｐ （１， ２） 为 中 点 作 双 曲 线 Ｃ 的 一 条 弦 ＡＢ ，求 弦 ＡＢ 所 在 直 线 的 方 程 ． ２２． （１２ 分 ） 已 知 双 曲 线 ｘ ２ ａ ２ － ｙ ２ ｂ ２ ＝ １ （ａ ＞ ０ ，ｂ ＞ ０ ） 的 离 心 率 ｅ ＝ 槡 ２ ３３ ， 直 线 ｌ 过 Ａ （ａ ，０ ） ，Ｂ （０ ， － ｂ） 两 点 ，原 点 Ｏ 到 直 线 ｌ 的 距 离 是 槡 ３２ ． （１ ） 求 双 曲 线 的 方 程 ； （２ ） 过 点 Ｂ 作 直 线 ｍ 交 双 曲 线 于 Ｍ ，Ｎ 两 点 ，若 →ＯＭ · →ＯＮ ＝ － ２３ ，求 直 线 ｍ 的 方 程 ． ! " # $ % & ' ( ) *+,-./0123456789 ! :;<=!"#$%& *+,-./0123456789 ! :;<='"($%& 书 一、双曲线定义———与椭圆相伴相离 双曲线的定义与椭圆定义只有一字之差，它们之间 的和谐美与对立美闪耀在图形之上，渗透于方程之中． 从定义的角度讲，双曲线与椭圆的主要区别有三： １．双曲线要求动点到两定点距离之差的绝对值为 常数（小于两定点间的距离），而椭圆则要求动点到两定 点距离之和为常数（大于两定点间的距离）； ２．主要参数ａ，ｂ，ｃ之间的关系，双曲线要求ｃ２ ＝ａ２ ＋ｂ２，其中 ａ，ｂ，ｃ分别表示双曲线的实、虚半轴和半焦 距．而椭圆则要求ａ２＝ｂ２＋ｃ２，其中ａ，ｂ，ｃ分别表示椭圆 的长、短半轴和半焦距． 例１椭圆ｘ ２ ｍ ＋ ｙ２ ｎ ＝１（ｍ＞ｎ＞０）与双曲线 ｘ２ ａ－ ｙ２ ｂ ＝１（ａ＞ｂ＞０）有相同的焦点Ｆ１，Ｆ２．Ｐ是两条曲线 的一个交点，则｜ＰＦ１｜·｜ＰＦ２｜的值是 （　　） （Ａ）ｍ－ａ　　　　　　（Ｂ）１２（ｍ－ａ） （Ｃ）ｍ２－ａ２ （Ｄ）槡ｍ－槡ａ 解析：因为椭圆的长半轴为槡ｍ， 所以｜ＰＦ１｜＋｜ＰＦ２｜＝２槡ｍ， ① 因为双曲线的实半轴为槡ａ， 故｜ＰＦ１｜－｜ＰＦ２｜＝±２槡ａ， ② 由①２－②２得４｜ＰＦ１｜·｜ＰＦ２｜＝４（ｍ－ａ）， 即｜ＰＦ１｜·｜ＰＦ２｜＝ｍ－ａ， 故选（Ａ）． 点评：严格区分椭圆与双曲线的定义，是正确求解 本题的关键． 二、渐近线———双曲线与直线相约天涯 对于二次曲线，渐近线为双曲线所独有．双曲线的 许多特性围绕着渐近线而展开． 双曲线的左、右两支都无限接近其渐近线而又不与 其相交，这一特有的几何性质不仅很好地界定了双曲线 的范围，而且由于处理直线问题比处理曲线问题容易得 多，所以这一性质被广泛应用于有关解题之中． 例２已知双曲线的一条渐近线方程为ｘ－２ｙ＝０，且 过点Ｐ（４，３），求双曲线的标准方程． 分析：已知渐近线方程，通过分类讨论，分别研究双 曲线的焦点所在的轴，根据所过点的条件加以确定相应 的双曲线方程． 解法一：当双曲线的焦点在ｘ轴上时，渐近线方程为 ｙ＝±ｂａｘ，依题意 ｂ ａ ＝ １ ２，得ａ＝２ｂ， 则对应的双曲线方程为 ｘ２ ４ｂ２ －ｙ ２ ｂ２ ＝１， 将点Ｐ（４，３