第12期 椭圆-【数理报】新教材2023-2024学年高二数学选择性必修第一册同步学案（人教A版2019）

书 １．设 Ｆ１，Ｆ２为定点，｜Ｆ１Ｆ２｜＝６，动点 Ｍ满足 ｜ＭＦ１｜＋｜ＭＦ２｜＝６，则动点Ｍ的轨迹是 （　　） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　（Ａ）椭圆　 （Ｂ）直线 （Ｃ）圆　 （Ｄ）线段 ２．椭圆２５ｘ２＋１６ｙ２ ＝１的焦点坐标为 （　　） （Ａ）（－３，０） （Ｂ） －１３，( )０， １３，( )０ （Ｃ） －３２０，( )０， ３２０，( )０ （Ｄ）０，－３( )２０，０，３( )２０ ３．（２０２３重庆沙坪坝南开中学校考）已知椭圆 Ｃ： ｘ２ ８－ｍ＋ ｙ２ ｍ－１＝１的焦点在ｙ轴上，且焦距为２，则ｍ＝ （　　） （Ａ）３ （Ｂ）４ （Ｃ）５ （Ｄ）７ ４．设α∈ ０，π( )２ ，方程 ｘ２ ｓｉｎα ＋ ｙ ２ ｃｏｓα ＝１表示焦点 在ｘ轴上的椭圆，则 （　　） （Ａ）α∈ ０，π( ]４ （Ｂ）α∈ π４，π( )２ （Ｃ）α∈ ０，π( )４ （Ｄ）α∈ π４，π[ )２ ５．（多选）若方程３ｘ２＋ｋｙ２＝１表示焦点在ｙ轴上的 椭圆，则ｋ的可能取值为 （　　） （Ａ）１ （Ｂ）３２ （Ｃ）２ （Ｄ）３ ６．已知Ｍ（－２，０），Ｎ（２，０），若｜ＰＭ｜＋｜ＰＮ｜＝６， 则Ｐ点的轨迹方程为 ． ７．椭圆长轴上的两端点 Ａ１（－３，０），Ａ２（３，０），两焦 点恰好把长轴三等分，则该椭圆的标准方程为 ． ８．已知Ｆ１，Ｆ２是椭圆Ｃ： ｘ２ １６＋ ｙ２ １２＝１的两个焦点，点 Ｍ在Ｃ上，则｜ＭＦ１｜｜ＭＦ２｜的最大值为 ． ９．已知椭圆的中心Ｏ在原点，焦点Ｆ１，Ｆ２在ｘ轴上， Ｐ（３，４）为椭圆上一点．若ＰＦ１⊥ＰＦ２，求椭圆的标准方程． １．下列椭圆中最接近圆的是 （　　） （Ａ）ｘ ２ ４＋ ｙ２ ５ ＝１　　　　 （Ｂ） ｘ２ ６＋ ｙ２ １０＝１ （Ｃ）ｘ ２ １６＋ ｙ２ １２＝１ （Ｄ） ｘ２ ３６＋ ｙ２ ４ ＝１ ２．若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长的和 为１０，焦距为 槡２５，则椭圆的方程为 （　　） （Ａ）ｘ ２ ９＋ ｙ２ ４ ＝１ （Ｂ）ｘ ２ ２５＋ ｙ２ １６＝１ （Ｃ）ｘ ２ ９＋ ｙ２ ４ ＝１或 ｘ２ ４＋ ｙ２ ９ ＝１ （Ｄ）以上都不对 ３．（２０２３安徽校联考模拟预测）已知椭圆 Ｅ：ｘ ２ ａ２ ＋ ｙ２ ｂ２ ＝１（ａ＞ｂ＞０）的长轴长是短轴长的２倍，则Ｅ的离 心率为 （　　） （Ａ）１２ （Ｂ） 槡２ ２ （Ｃ） 槡２ ４ （Ｄ） 槡３ ２ ４．（２０２３贵州黔东南凯里一中校考阶段练习）已知 椭圆 ｘ２ ａ２ ＋ｙ ２ ｂ２ ＝１（ａ＞ｂ＞０）中，长轴长为１０，离心率为 槡３ ２，则焦距为 （　　） （Ａ）槡５３ （Ｂ）１０ （Ｃ）槡５５ （Ｄ）槡５６ ５．（多选）已知Ｆ１，Ｆ２是椭圆Ｃ： ｘ２ ５０＋ ｙ２ ２５＝１的左、 右焦点，点Ｐ在椭圆Ｃ上，则下列结论正确的有 （　　） （Ａ）椭圆Ｃ的离心率为槡２２ （Ｂ）｜ＰＦ１｜＋｜ＰＦ２｜＝ 槡５２ （Ｃ）槡５２－５≤｜ＰＦ１｜≤ 槡５２＋５ （Ｄ）∠Ｆ１ＰＦ２的最大值为 π ２ ６．若椭圆ｘ ２ ４＋ ｙ２ ｍ ＝１（ｍ＜４）的离心率为 １ ２，则ｍ ＝ ． ７．如果方程ｘ２＋ｋｙ２＝２表示焦点在ｘ轴上的椭圆， 那么实数ｋ的取值范围是 ． ８．若椭圆ｘ２＋ｍｙ２ ＝１的离心率为槡３２，则它的长轴 长为 ． ９．已知椭圆的焦点在ｘ轴上，对称轴为坐标轴，它的 离心率ｅ＝ ２５，且过点（５，０），求椭圆的标准方程． 书 【要点解读】 应用椭圆的定义注意两点： ①分清动点和定点； ②看是否满足常数２ａ＞｜Ｆ１Ｆ２｜． 要掌握好椭圆的图形、范围、对称性、顶点、长轴、短 轴、离心率等． 一、椭圆及其标准方程 我们把平面内与两个定点Ｆ１，Ｆ２的距离的和等于常 数（大于｜Ｆ１Ｆ２｜）的点的集合叫做① ．这两个 定点叫做椭圆的② ，两焦点间的距离叫做椭圆 的③ ． 注：（１）椭圆标准方程对应的椭圆中心在原点，以焦 点所在轴为坐标轴． （２）椭圆标准方程的形式：左边是两个分式的平方 和，右边是１． （３）椭圆标准方程中三个参数ａ，ｂ，ｃ的关系为ａ２＝ ④ ． （４）椭圆焦点的位置由标准方程中分母的大小确定． （５）求椭圆标准方程时，可运用待定系数法求出ａ， ｂ的值． 二、椭圆的简单几何性质 １．作椭圆图形时，椭圆的四个顶点是关键点，必须 先确定．椭圆是个对称性封闭图形，只要画出第一象限 部分的曲线，就可利用图形的对称性将图形补全． 焦点的位置 焦点在ｘ轴上 焦点在ｙ轴上 图形 标准方程 ｘ２ ａ２ ＋ｙ ２ ｂ２ ＝１ （ａ＞ｂ＞０） ⑤ 范围 ⑥ ， －ｂ≤ｙ≤ｂ －ｂ≤ｘ≤ｂ， ⑦ 顶点 Ａ１（－ａ，０），Ａ２（ａ，０） ⑧ Ａ１（０，－ａ），Ａ２（０，ａ） Ｂ１（－ｂ，０），Ｂ２（ｂ，０） 轴长 长轴长 ＝⑨