第9期 直线与圆、圆与圆的位置关系-【数理报】新教材2023-2024学年高二数学选择性必修第一册同步学案（人教A版2019）

书 在最近几年的高考中经常出现关于点的个数的判 断方法，如：满足圆（ｘ－ａ）２＋（ｙ－ｂ）２ ＝ｒ２（ｒ＞０）上 到直线ｌ：Ａｘ＋Ｂｙ＋Ｃ＝０的距离为定值ｈ的点Ｐ究竟有 几个？它取决于定值 ｈ、半径 ｒ以及圆心到直线的距离 ｄ（为节省版面，下列题中均省略字母意义的设置，而同 学们在做题中，此步骤不可省）． １．ｄ＞ｒ的情形 例１圆（ｘ－３）２＋（ｙ－３）２＝９上到直线３ｘ＋４ｙ＋ １２＝０的距离等于４的点的个数为 ． 解：由已知得ｒ＝３，ｈ＝４， ｄ＝｜３×３＋４×３＋１２｜ ３２＋４槡 ２ ＝３３５． 因为ｄ＝３３５ ＞ｒ＝３， 且 ３３ ５－３＝ｄ－ｒ＜ｈ＝４， 所以符合条件的点有２个，如图１． ２．ｄ＝ｒ的情形 例２圆（ｘ－３）２＋（ｙ－３）２＝９上到直线５ｘ＋４ｙ－ １２＝０的距离等于３的点的个数为 ． 解析：由已知得ｒ＝３，ｈ＝３， ｄ＝｜５×３＋４×３－１２｜ ３２＋４槡 ２ ＝３． 因为０＜ｈ＝３＜２ｒ＝６， 所以符合条件的点有２个，如图２． ３．０＜ｄ＜ｒ的情形 例３圆（ｘ－３）２＋（ｙ－３）２＝９上到直线５ｘ＋４ｙ－ ２０＝０的距离等于３的点的个数为 ． 解：由已知得ｒ＝３，ｈ＝３， ｄ＝｜５×３＋４×３－２０｜ ３２＋４槡 ２ ＝ ７５． 因为 ７ ５ ＜ｈ＝３＜ｒ＋ｄ＝ ２２ ５， 所以符合条件的点有２个，如图３． ４．ｄ＝０的情形 例４圆（ｘ－３）２＋（ｙ－３）２＝９上到直线５ｘ＋４ｙ－ ２７＝０的距离等于２的点的个数为 ． 解：由已知得ｒ＝３，ｈ＝２， ｄ＝｜５×３＋４×３－２７｜ ３２＋４槡 ２ ＝０． 因为０＜ｈ＝２＜ｒ＝３， 所以符合条件的点有４个，如图４． 点评：无论条件怎么变，只要明确了 ｒ，ｄ，ｈ之间的数量关系，作出图形，便可一目了然．这足 以说明数形结合思想的重要作用． ! ! " # $ ! % ! ! ! ! " & $ ! ' ! " ! ! ( & $ ! ) ! # ! ! " ! ! $ ! * + , - . ! ! !" #$% &'() * + 书 在解直线与圆相交的问题时，很多同学喜欢联立方 程组，求解交点坐标，进而求弦长．这样做，计算量太大， 容易出错．而通过做图，会发现一个奇妙的三角形． 题１（求切线长）从圆Ｃ：（ｘ－１）２＋（ｙ－１）２＝１外 一点Ｐ（２，３）向这个圆引切线，则切线长为 ． 解：如图１所示，线段ＰＡ，ＡＣ，ＰＣ 恰巧构成一个直角三角形，利用此 直角三角形易得切线 ＰＡ的长为 ｜ＰＣ｜２－｜ＣＡ｜槡 ２ ＝２． 点评：利用这个三角形大大地 减少了计算量．而这个三角形必然 是直角三角形． 题２（求弦长）已知圆Ｃ的圆心与点Ｐ（－２，１）关 于直线ｙ＝ｘ＋１对称．直线ｌ：３ｘ＋４ｙ－１１＝０与圆 Ｃ相交于Ａ，Ｂ两点，且 ｜ＡＢ｜＝６，则圆 Ｃ的方程为 ． 解：首先由圆心与点Ｐ关于ｙ＝ｘ＋１对称，可以求 出圆心的坐标为Ｃ（０，－１），设圆的半径为ｒ． 因为圆心Ｃ到直线３ｘ＋４ｙ－１１＝０的距离为 ｄ＝｜３×０＋４×（－１）－１１｜ ３２＋４槡 ２ ＝１５５ ＝３． 先画出图形，如图２．过点 Ｃ作 直线ｌ的垂线，垂足为 Ｅ，则 △ＡＣＥ 为直角三角形，且 Ｅ为弦 ＡＢ的中 点．利用直角三角形可得， ｒ２ ＝ＣＥ２＋ＡＥ２ ＝９＋９＝１８． 所以圆Ｃ的方程为 ｘ２＋（ｙ＋１）２ ＝１８． 点评：只要作图，就会发现这个奇妙的三角形，题目 中所涉及的数量关系也就一目了然了． 书 例 已知Ｐ为直线ｙ＝ｘ＋１上任一点，Ｑ为圆Ｃ：（ｘ －３）２＋ｙ２ ＝１上任一点，求｜ＰＱ｜的最小值． 解析：这是个典型的直线与圆位置关系的最值问 题，一般地只需要过圆心作直线的垂线，计算出垂线段 的距离，然后把这个距离加上半径就是最大值，距离减 去半径就是最小值．所以这道题的结果是：槡２２－１． 变式一：由直线ｙ＝ｘ＋１上 的一点向圆Ｃ：（ｘ－３）２＋ｙ２ ＝１ 引切线，求切线长的最小值． 解：设过直线ｙ＝ｘ＋１上点Ｐ 作切线，切圆 Ｃ于 Ａ，如图 １，则 ＰＡ２ ＝ＰＣ２－１． 所以要求切线长的最小值，也就是要求 ＰＣ的最小 值． 又ＰＣｍｉｎ ＝ 槡２２，所以ＰＡｍｉｎ ＝槡７． 变式二：如图２，已知点Ａ（０，１），Ｂ（２，３），Ｑ为圆Ｃ： （ｘ－３）２＋ｙ２ ＝１上任一点，求Ｓ△ＱＡＢ的最小值． 解：已知Ａ（０，１），Ｂ（２，３）， 故可求得直线ＡＢ的方程为ｌＡＢ：ｙ＝ｘ＋１． 设ｈ为Ｑ到ｌＡＢ的距离，则Ｓ△ＱＡＢ ＝ １ ２｜ＡＢ｜·ｈ． 又因为｜ＡＢ｜＝ 槡２２， 所以要求Ｓ△ＱＡＢ的最小值，也就是要求ｈ的最小值． 由例题可知这个最小值为 槡２２－１， 所以Ｓ△ＱＡＢ的最小值为４－槡２． ! / # - 0 , ! ! & 01/2! ! / . 0 , ! " & #"%#