第17期 直线与方程-【数理报】2024高考数学一轮复习学案（新教材新高考）

书 （上接第３版） ２０．（本小题满分１２分）（２０２３湖北黄冈期中）在 △ＡＢＣ中，Ａ（－１，１），边ＡＣ上的高ＢＥ所在的直线方程 为ｘ＋ｙ－６＝０，边ＡＢ上的中线ＣＭ所在的直线方程为 ４ｘ－５ｙ＋６＝０． （１）求点Ｃ的坐标； （２）求直线ＢＣ的方程． ２１．（本小题满分１２分）（２０２３湖北高三专题练习） 已知直线 ｌ：ｋｘ－ｙ＋１＋２ｋ＝０（ｋ∈ Ｒ），Ｐ（３，－１）， Ｑ（－３，３）． （１）若Ｐ，Ｑ两点到直线ｌ的距离相等，求此时直线ｌ 的方程； （２）当ｋ为何值时，原点Ｏ到直线ｌ的距离最大； （３）当ｋ＝１时，求直线ｌ上的动点Ｍ到原点Ｏ距离 的最小值，并求此时点Ｍ的坐标． ２２．（本小题满分１２分）（２０２３内蒙古呼和浩特市月 考）已知函数ｆ（ｘ）＝（ｘ＋１）２． （１）当１≤ｘ≤ｍ时，不等式ｆ（ｘ－３）≤ｘ恒成立， 求实数ｍ的最大值； （２）在曲线ｙ＝ｆ（ｘ＋ｔ）上存在两点关于直线ｙ＝ ｘ对称，求ｔ的取值范围； （３）在直线ｙ＝－１４上取一点Ｐ，过点Ｐ作曲线ｙ＝ ｆ（ｘ＋ｔ）的两条切线ｌ１，ｌ２，求证：ｌ１⊥ｌ２                                                                                           ． 书 一、单项选择题　１～４　ＣＡＡＤ　５～８　ＣＣＤＢ 二、多项选择题　９．ＢＣＤ；　１０．ＣＤ；　１１．ＡＣＤ；　１２．ＢＣＤ． 三、填空题　１３．［６，１２］；　１４．槡６６１１；　１５． 槡１４ ６ ；　１６ (． ０，槡６)３ ． 四、解答题 １７．（１）解：过点Ａ作直线ＡＭ⊥ＡＤ， 交ＢＣ于点Ｍ， 则ＡＭ ＝ＡＢｓｉｎ６０°＝槡３， ＢＭ ＝ＡＢｃｏｓ６０°＝１， ＭＣ＝ＢＣ－ＢＭ ＝３． 以点Ａ为原点，分别以→ＡＭ，→ＡＤ，→ＡＰ的 方向为ｘ，ｙ，ｚ轴的正方向建立如图１所示 的空间直角坐标系． 则Ｄ（０，４，０），Ｐ（０，０，４），Ａ（０，０，０）， 设点Ｅ（槡３，ｔ，０），（－１≤ｔ≤３），→ＡＰ＝（０，０，４）， →ＡＥ＝（槡３，ｔ，０）→．ＤＥ＝（槡３，ｔ－４，０），→ＤＰ＝（０，－４，４）． 设平面ＰＡＥ的法向量为ｎ＝（ｘ，ｙ，ｚ）， 则 ｎ·→ＡＰ＝４ｚ＝０， ｎ·→ＡＥ＝槡３ｘ＋ｔｙ＝０{ ，令ｘ＝ｔ，得ｎ＝（ｔ，－槡３，０）． 设平面ＰＥＤ的法向量为ｍ ＝（ａ，ｂ，ｃ）， 则 ｍ· →ＤＥ＝槡３ａ＋（ｔ－４）ｂ＝０， ｍ·→ＤＰ＝－４ｂ＋４ｃ＝０{ ， 令ｂ＝１，得ｍ (＝ ４－ｔ 槡３ ，１， )１ ． 若平面ＰＡＥ⊥平面ＰＥＤ，则ｍ·ｎ＝０， 即 ｔ（４－ｔ） 槡３ －槡３＝０，解得ｔ＝１或ｔ＝３． 故点Ｅ是ＢＣ的中点或与点Ｃ重合时，平面ＰＡＥ⊥平面ＰＥＤ． （２）证明：显然平面ＡＤＥ的一个法向量为→ＡＰ＝（０，０，４）， ｃｏｓα＝｜ｃｏｓ〈→ＡＰ，ｍ〉｜＝ ４ ４ （４－ｔ） ２ ３ ＋槡 ２ ，→ＡＤ＝（０，４，０）， ｓｉｎβ＝｜ｃｏｓ〈→ＡＤ，ｍ〉｜＝ ４ ４ （４－ｔ） ２ ３ ＋槡 ２ ，所以ｃｏｓα＝ｓｉｎβ， 又因为α，β均为锐角，所以α＋β＝ π２． １８．（１）证明：因为四边形ＡＢＣＤ是直角梯形， Ｅ，Ｆ分别是ＡＤ，ＢＣ的中点， 所以ＡＢ∥ＥＦ∥ＣＤ，ＥＦ⊥ＡＥ，ＥＦ⊥ＤＥ，且ＡＥ∩ＤＥ＝Ｅ， 所以ＥＦ⊥平面ＡＥＤ，又ＡＤ平面ＡＥＤ，所以ＥＦ⊥ＡＤ． （２）解：由（１）可得ＣＤ⊥平面ＡＥＤ． 因为ＡＤ平面ＡＥＤ，所以ＣＤ⊥ＡＤ， 在Ｒｔ△ＡＤＣ中，ＡＤ＝ ＡＣ２－ＣＤ槡 ２＝ ２４－槡 １６＝ 槡２２， 又ＡＥ＝ＤＥ＝２，所以ＡＥ２＋ＤＥ２＝ＡＤ２，即ＡＥ⊥ＤＥ． 以Ｅ为原点，分别以→ＥＤ，→ＥＦ，→ＥＡ的方向为ｘ，ｙ，ｚ轴的正方向建立空间 直角坐标系，则Ｆ（０，３，０），Ａ（０，０，２），Ｃ（２，４，０）， (Ｑ ０，３２， )０ ． 设Ｐ（ｘ，ｙ，ｚ），→ＡＰ＝λ→ＡＣ，λ∈［０，１］， 所以（ｘ，ｙ，ｚ－２）＝λ（２，４，－２）， 解得：ｘ＝２λ，ｙ＝４λ，ｚ＝２－２λ．所以Ｐ（２λ，４λ，２－２λ）． ｜ＰＱ｜２＝（２λ）２ (＋ ４λ－ )３２ ２ ＋（２－２λ）２ ＝２４λ２－２０λ＋２５４ ＝ (２４ λ－ ５ )１２ ２ ＋２５１２， 当λ＝ ５１２时，｜ＰＱ｜取得最小值，为 槡５３ ６， 所以线段ＰＱ长的最小值为 槡５３６． １９．解：（１）在图２中，取ＤＥ的中点Ｏ，ＢＣ的中点Ｆ，连接ＯＡ，ＯＦ，以 Ｏ为原点，ＯＥ，ＯＦ，ＯＡ所在直