第16期 直线的方向向量与平面的法向量，用向量方法讨论立体几何中的位置关系-【数理报】新教材2023-2024学年高二数学选择性必修一同步学案（北师大版2019）

书 空间位置关系是立体几何中的重要内容，本文介绍 用空间向量证明线线垂直、线面垂直、线面平行与面面 垂直问题，供同学们参考． 一、证明线线垂直 利用向量证明线线垂直，一 般先确定出两条直线的方向向 量，然后利用向量垂直的充要条 件证明． 例１在棱长为 １的正方体 ＡＢＣＤ－Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１中，点 Ｅ，Ｆ分别 为 Ｄ１Ｄ，ＢＤ的中点，求证：ＥＦ⊥ Ｂ１Ｃ． 证明：如图１，以 Ｄ为坐标原 点，建立空间直角坐标系Ｄｘｙｚ， 则 (Ｅ ０，０，１ )２ ， (Ｆ １２，１２， )０ ，Ｃ（０，１，０），Ｂ１（１， １，１），→ＥＦ (＝ １２，１２，－１ )２ ，Ｂ１→ Ｃ＝（－１，０，－１）． 因为 →ＥＦ·Ｂ１→ Ｃ＝０．所以→ＥＦ⊥Ｂ１→ Ｃ，即ＥＦ⊥Ｂ１Ｃ． 二、证明线面垂直 利用向量证明直线与平面垂直主 要有两条途径：（１）根据线面垂直的判 定定理，利用向量证明直线与平面内的 两条相交直线垂直；（２）转化为证明直 线的方向向量与平面的法向量共线． 例２如图２，在正四棱柱 ＡＢＣＤ－ Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１中，ＡＡ１ ＝２ＡＢ＝４，点 Ｅ在 ＣＣ１上且Ｃ１Ｅ＝３ＥＣ．求证：Ａ１Ｃ⊥平面 ＢＤＥ． 证明：以Ｄ为坐标原点，建立如图２所示的空间直 角坐标系 Ｄｘｙｚ，则 Ｄ（０，０，０），Ｂ（２，２，０），Ｃ（０，２，０）， Ｅ（０，２，１），Ａ１（２，０，４）． 所以 →ＤＥ＝（０，２，１），→ＤＢ＝（２，２，０），Ａ１→ Ｃ＝（－２，２，－４）． 因为Ａ１ → Ｃ·→ＤＢ＝０，Ａ１→ Ｃ·→ＤＥ＝０， 所以Ａ１Ｃ⊥ＤＢ，Ａ１Ｃ⊥ＤＥ． 又ＤＢ∩ＤＥ＝Ｄ，所以Ａ１Ｃ⊥平面ＢＤＥ． 三、证明线面平行 利用向量证明线面平行主要有两条途径：（１）证明 直线所对应的向量与平面的法向量垂直；（２）利用向量 平行的条件，证明直线所对应的向量与平面内一条直线 所对应的向量是平行向量． 例３如图 ３，在四棱锥 Ｏ－ ＡＢＣＤ中，底面 ＡＢＣＤ是边长为１ 的菱形，∠ＡＢＣ＝４５°，ＯＡ⊥底面 ＡＢＣＤ，ＯＡ＝２，Ｍ为ＯＡ的中点，Ｎ 为ＢＣ的中点，求证：直线 ＭＮ∥ 平面 ＯＣＤ． 证明：作ＡＰ⊥ＣＤ于点Ｐ，建 立如图３所示的空间直角坐标系 Ａｘｙｚ， 则 Ａ（０，０，０），Ｂ（１，０，０）， (Ｐ ０，槡２２， )０ ， (Ｄ －槡２２，槡２２，)０ ， Ｏ（０，０，２），Ｍ（０，０，１）， (Ｎ １－槡２４，槡２４，)０ ， 所以 →ＭＮ (＝ １－槡２４，槡２４，－ )１ ，→ＯＰ (＝ ０，槡２２， － )２ ，→ＯＤ (＝ －槡２２，槡２２，－ )２ ． 设平面ＯＣＤ的一个法向量为ｎ＝（ｘ，ｙ，ｚ）， 则ｎ·→ＯＰ＝０，ｎ·→ＯＤ＝０， 即 槡２ ２ｙ－２ｚ＝０， －槡２２ｘ＋ 槡２ ２ｙ－２ｚ＝０ { ． 令ｚ＝槡２，得ｎ＝（０，４，槡２）． 因为 →ＭＮ·ｎ＝０，所以 →ＭＮ⊥ｎ． 故直线ＭＮ∥平面ＯＣＤ． 四、证明面面垂直 利用向量证明平面与平面垂直主要有两条途径： （１）根据面面垂直的判定定理，利用向量证明一个 平面内的一条直线的方向向量为另一个平面的法向量； （２）转化为证明这两个平面的法向量互相垂直． 例４如图４，已知四棱锥 Ｐ－ＡＢＣＤ的底面为直角梯 形，ＡＢ∥ ＣＤ，∠ＤＡＢ ＝９０°， ＰＡ⊥底面 ＡＢＣＤ，且ＰＡ＝ＡＤ ＝ＤＣ＝１，ＡＢ＝２． 求证：平面 ＰＡＤ⊥ 平面 ＰＣＤ． 证明：如图４，以 Ａ为坐标原点，建立空间直角坐标 系， 则 Ａ（０，０，０），Ｂ（０，２，０），Ｃ（１，１，０），Ｄ（１，０，０）， Ｐ（０，０，１）， 所以 →ＰＤ＝（１，０，－１），→ＰＣ＝（１，１，－１）． 易知平面ＰＡＤ的一个法向量为ｎ１ ＝（０，２，０）． 设平面ＰＣＤ的一个法向量为ｎ２ ＝（ｘ，ｙ，ｚ）， 则 ｎ２· →ＰＤ＝ｘ－ｚ＝０， ｎ２· →ＰＣ＝ｘ＋ｙ－ｚ＝０{ ． 令ｘ＝１，得ｎ２ ＝（１，０，１）． 因为ｎ１·ｎ２ ＝０，所以平面ＰＡＤ⊥平面ＰＣＤ． 书 利用法向量处理立体几何问题，只需通过规范准确 的运算即可，回避了传统方法中的复杂推理，为立体几 何问题的求解打开了一扇方便之门．运用这种方法的关 键是构建合适的空间直角坐标系，将空间图形关系转化 为代数关系，从而缩短了思维的过程，为解题提供了强 有力的帮助．下面举例说明． 一、利用法向量求线面角 例１在棱长为１的正方体 ＡＢＣＤ －Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１中，求 Ａ１Ｂ１与平面 Ａ１Ｃ１Ｂ 所成角的正弦值． 解析：建立如图 １所示的空间直 角坐标系 Ｄ－ｘｙｚ，则 Ａ１（１，０，１）， Ｂ１（１，１，１），Ｃ１（０，１，１），Ｂ（１，１，０）， 于是Ａ１ → Ｂ＝（０，１，－１），Ａ１→ Ｃ１＝（－１，１， ０），Ａ１ → Ｂ