第10期 抛物线(一)-【数理报】新教材2023-2024学年高二数学选择性必修一同步学案（北师大版2019）

书 策略一：巧取特殊点或特殊位置 例１过抛物线ｙ＝ａｘ２（ａ＞０）的焦点Ｆ作一直线交 抛物线于Ｐ，Ｑ两点，若线段ＰＦ与ＦＱ的长分别是ｐ，ｑ，则 １ ｐ＋ １ ｑ的值为 （　　） （Ａ）２ａ　　 （Ｂ）１２ａ （Ｃ）４ａ　　 （Ｄ）４ａ 解：取直线ＰＱ∥ｘ轴，则ｐ＝ｑ＝ １２ａ． 所以 １ ｐ＋ １ ｑ ＝４ａ，故选（Ｃ）． 策略二：巧设方程 例２已知抛物线的顶点为原点，焦点在ｘ轴上，且被 直线ｙ＝ｘ＋１所截的弦长为槡１０，求此抛物线的方程． 解：设抛物线的方程为ｙ２ ＝ａｘ（ａ≠０）， 则 ｙ２ ＝ａｘ， ｙ＝ｘ＋１{ ，消去ｙ得ｘ２＋（２－ａ）ｘ＋１＝０． 设弦的端点为（ｘ１，ｙ１），（ｘ２，ｙ２）， 则ｘ１＋ｘ２ ＝ａ－２，ｘ１ｘ２ ＝１． 由弦长公式得槡２· （ｘ１＋ｘ２） ２－４ｘ１ｘ槡 ２ ＝槡１０， 即 （ａ－２）２－槡 ４＝槡５，解得ａ＝－１或ａ＝５． 所以所求抛物线的方程为ｙ２ ＝－ｘ或ｙ２ ＝５ｘ． 策略三：善用定义及平面几何的性质 例３如下图，已知点 Ｆ（１， ０），直线 ｌ：ｘ＝－１，Ｐ为平面上 的动点，过Ｐ作直线ｌ的垂线，垂 足为点Ｑ，且→ＱＰ·→ＱＦ＝→ＦＰ·→ＦＱ． （１）求动点Ｐ的轨迹Ｃ的方 程； （２）过点Ｆ的直线交轨迹Ｃ 于Ａ，Ｂ两点，交直线ｌ于点Ｍ，已 知 →ＭＡ＝λ１→ＡＦ，→ＭＢ＝λ２→ＢＦ，求λ１＋λ２的值． 解：（１）由→ＱＰ·→ＱＦ＝→ＦＰ·→ＦＱ得 →ＦＱ·（→ＰＱ＋→ＰＦ）＝０． 所以（ →ＰＱ－→ＰＦ）·（→ＰＱ＋→ＰＦ）＝０， 所以 →ＰＱ２－→ＰＦ２ ＝０，即｜→ＰＱ｜＝｜→ＰＦ｜． 所以点Ｐ的轨迹Ｃ是抛物线． 由题意，轨迹Ｃ的方程为：ｙ２ ＝４ｘ． （２）由已知→ＭＡ＝λ１→ＡＦ，→ＭＢ＝λ２→ＢＦ得λ１λ２ ＜０． 则 ｜→ＭＡ｜ ｜→ＭＢ｜ ＝－ λ１｜ →ＡＦ｜ λ２｜ →ＢＦ｜ ． ① 过点Ａ，Ｂ分别作准线ｌ的垂线，垂足分别为Ａ１，Ｂ１， 则 ｜→ＭＡ｜ ｜→ＭＢ｜ ＝ ｜ＡＡ→ １｜ ｜ＢＢ→ １｜ ＝｜ →ＡＦ｜ ｜→ＢＦ｜ ． ② 由①②得 － λ１｜ →ＡＦ｜ λ２｜ →ＢＦ｜ ＝｜ →ＡＦ｜ ｜→ＢＦ｜ ，即λ１＋λ２ ＝０． 书 热点问题１：求抛物线的方程 例１设斜率为２的直线ｌ过抛物线ｙ２＝ａｘ（ａ≠０） 的焦点Ｆ，且和ｙ轴交于点Ａ，若△ＯＡＦ（Ｏ为坐标原点） 的面积为４，求抛物线的方程． 分析：根据抛物线的焦点坐标设直线方程，求得纵 横截距，利用面积公式建立方程就可求得 ａ的值，也就 求得了抛物线的方程． 解：抛物线 ｙ２ ＝ａｘ（ａ≠ ０）的焦点 Ｆ的坐标为 ａ ４，( )０，则直线ｌ的方程为ｙ＝２ｘ－ａ( )４ ，它与ｙ轴的 交点为Ａ０，－ａ( )２ ，所以△ＯＡＦ的面积为 １ ２· － ａ ２ · ａ ４ ＝４，解得ａ＝±８． 所以抛物线的方程为ｙ２ ＝±８ｘ． 热点问题２：抛物线中点弦公式的应用 例２已知抛物线ｙ２＝２ｐｘ（ｐ＞０），过其焦点且斜率 为１的直线交抛物线于Ａ，Ｂ两点，若线段ＡＢ的中点的纵 坐标为２，则该抛物线的准线方程为 （　　） （Ａ）ｘ＝１　　　　　　（Ｂ）ｘ＝－１ （Ｃ）ｘ＝２ （Ｄ）ｘ＝－２ 分析：在圆锥曲线问题中，如果出现相交弦中点的 坐标，这是使用中点弦公式解决问题的标志性信号．解 决问题的关键是设点，代入抛物线方程相减得到斜率的 关系式，然后再根据其他条件进行求解． 解：设Ａ（ｘ１，ｙ１），Ｂ（ｘ２，ｙ２），则ｙ ２ １＝２ｐｘ１，ｙ ２ ２＝２ｐｘ２， 两式相减得（ｙ１－ｙ２）（ｙ１＋ｙ２）＝２ｐ（ｘ１－ｘ２）． 又因为直线的斜率为１，所以 ｙ１－ｙ２ ｘ１－ｘ２ ＝１，从而ｙ１＋ ｙ２ ＝２ｐ． 又线段ＡＢ的中点的纵坐标为２，即ｙ１＋ｙ２＝４，所以 ｐ＝２．于是抛物线的准线方程为ｘ＝－ｐ２ ＝－１． 故选（Ｂ）． 热点问题３：抛物线中的最值问题 例３设Ｐ是抛物线ｙ２ ＝４ｘ上的一动点， （１）求点Ｐ到点Ａ（－１，１）的距离与点Ｐ到直线ｘ ＝－１的距离之和的最小值； （２）若Ｂ（２，２），求｜ＰＢ｜＋｜ＰＦ｜的最小值． 分析：问题（１）可转化为：在曲线上求一点 Ｐ，使点 Ｐ到点Ａ（－１，１）与到点Ｆ（１，０）的距离最小的问题，从 而获得问题的解答． 解：（１）由于Ａ（－１，１），Ｆ（１，０），Ｐ为抛物线上任意 一点， 则 ｜ＡＰ｜＋｜ＰＦ｜≥｜ＡＦ｜＝ ２２＋槡 １＝槡５，从而知 点Ｐ到点Ａ（－１，１）的距离与点Ｐ到Ｆ（１，０）的距离之和 的最小值为槡５，即点Ｐ到点Ａ（－１，１）的距离与点Ｐ到直 线ｘ＝－１的距离之和的最小值为槡５． （２）如右图所示，自点 Ｂ作 ＢＱ 垂直于抛物线的准线于点 Ｑ，交抛 物线于点Ｐ，此时，｜ＰＱ