3.2.2 双曲线的简单几何性质第一课时 课件-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

3.2.2 双曲线的简单几何性质（第一课时） 1 双曲线的定义 知识回顾 图像 标准方程 谁正谁轴谁 2 问题1：类比对椭圆几何性质的研究，你认为应该研究双曲线 的哪些几何性质？如何研究这些性质？ ①范围 ④离心率 ③顶点 ②对称性 新知探究 范围 双曲线两支分别位于直线 的左侧与直线的右侧，向左右两边无限延伸． 由双曲线的标准方程 可知，双曲线上任意一点的坐标都适合不等式： 问题2：如图双曲线的图象分布范围是否有限？如果有限，最左、最右、最低、最高分别到什么位置？ 4 对称性 问题3：如图，图象是否为中心对称图形？如果是，找出对称中心． 是否为轴对称图形？如果是，找出对称轴． 原点是双曲线的对称中心. 、y轴是双曲线的对称轴 双曲线的对称中心叫做双曲线的中心. 5 顶点 问题4：类比求椭圆顶点的方法，双曲线的顶点是什么？ 令得 ；与轴有两个交点， 都称为双曲线的顶点． 令，得，无实数解，与轴没有交点． 也把，画出来． 实轴与虚轴等长的双曲线，称为等轴双曲线． 实轴： 线段 长为 虚轴: 线段 长为 a叫作实半轴长 b叫作虚半轴长 6 渐近线 问题5：利用信息技术画出双曲线和两条直线.在双曲线的右支上取一点，测量点的横坐标以及它到直线的距离.沿曲线向右上方拖动点，观察与的大小关系，你发现了什么？ 点的横坐标越来越大，越来越小，但是始终不等于 双曲线 在无限延伸的过程中无限接近两条直线 这两条直线称为双曲线的渐近线． 过双曲线的两个顶点A1(－a，0)，A2(a，0)分别作y轴的平行线 x = ±a， 经过B1(0，－b)，B2(0，b)分别作x轴的平行线 y = ±b． 这四条直线围成一个矩形，矩形的两条对角线所在的直线就是双曲线的两条渐近线． 追问：如何求双曲线的渐近线？ 在双曲线标准方程中，把“1”换成0，将式子变形 8 与椭圆类似，离心率为半焦距与实半轴长的比 离心率 因为所以双曲线的离心率 ． 问题6：椭圆的离心率刻画了椭圆的扁平程度，双曲线的离心率刻画双曲线的什么几何特征？ 双曲线的离心率： 追问：双曲线的离心率范围是什么？ 9 显然，e 越大， 越大，即渐近线 的斜率的绝对值越大，说明双曲线的开口越大． 方程变为： l 等轴双曲线:实轴和虚轴等长（ ） 渐近线方程为： 四条直线，围成正方形 它们互相垂直，并且平分双曲线的实轴和虚轴所成的角. 离心率： 方程 -=1 -=1 图像 范围 对称性 顶点 渐近线 离心率 关于轴、轴、原点对称 ，或 12 例3.求双曲线的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程. l 解：把双曲线的方程化为标准方程为. 实半轴长虚半轴长 焦点坐标是；离心率； 渐近线方程为 例题精讲 4. 双曲线的渐近线方程是，虚轴长为4，求双曲线的标准方程. 14 练习 求出下列双曲线的渐近线方程，你有什么发现？ 15 双曲线的几何性质 课堂小结 性质 焦点 . . 焦距 . 范围 或 , 或 , 对称性 对称轴: ;对称中心: . 顶点 . 坐标轴 原点 轴 实轴:线段 ,长 ; 虚轴:线段 ,长 ;实半轴长 ,虚半轴长 . 渐近线 . . 离心率 A1A2 2a B1B2 2b a (1,+∞) b Lavf58.76.100 标准方程 -=1(a>0,b>0) -=1(a>0,b>0) 图形 y=±x e=∈ y=±x $$