4.7 第1课时 相似三角形中的对应线段之比 课件 2023—2024学年北师大版数学九年级上册

第四章 图形的相似 4.7 相似三角形的性质 第1课时 相似三角形中的对应线段之比 1.明确相似三角形中对应线段与相似比的关系. （重点） 2.能熟练运用相似三角形的性质解决实际问题． （难点） 学习目标 在生活中，我们经常利用相似的知识解决建筑类问题.如图，小王依据图纸上的△ABC，以1:2的比例建造了模型房梁△A′B′C′ ，CD和C'D'分别是它们的立柱。 （1）△ACD与△A'C'D'相似吗？为什么？如果相似，指出它们的相似比。 （2）如果CD=1.5cm，那么模型房梁立柱有多高？ （3） 据此，你可以发现相似三角形怎样的性质？三角形除了边、角外，还有哪些几何量？ 高、角平分线、中线的长度，周长、面积等 导入新课 新课探究 探究一 相似三角形对应高的比等于相似比 问题 已知ΔABC∽△A′B′C′，相似比为k，分别作BC、B'C'上的高AD、A'D'. 求证： 相似三角形对应边上的高的比等于相似比． 可以得到其余两组对应边上高的比也等于相似比． 归纳总结 问题：把上图中的高改为中线、角平分线，那么它们对应中线的比，对应角平分线的比等于多少？ 图中 △ABC 和 △A′B′C′ 相似，AD、A′D′ 分别为对应边上的中线，BE、B′E′ 分别为对应角的角平分线，那么它们之间有什么关系呢？ A B C D E A' B' D' C' E' 探究二 相似三角形对应角平分线的比、 对应中线的比都等于相似比 6 A B C D E A' B' D' C' E' 验证猜想1 已知 △ABC∽△A′B′C′，相似比为 k， 求证： 证明：∵ △ABC ∽ △A′B′C′， ∴ ∠A′B′C′ =∠ABC， ． 又 ∵AD，AD′ 分别为对应边的中线， ∴BC = 2BD . ∴ △ABD ∽ △A′B′D′. 相似三角形对应边上的中线的比也等于相似比． 同学们可以试着自己用同样的方法求证三角形对应角的角平分线的比等于相似比． 归纳总结 证明：∵△ABC∽△A′B′C′， ∴∠A′B′C′ =∠ABC，∠B′A′C′ =∠BAC． 又∵AE、A’E′分别为对应角的角平方线， ∴∠ABE =∠A′B′E′. ∴ △ABE∽△A′B′E′. A B C D E A' B' D' C' E' 验证猜想2 已知△ABC∽△A′B′C′，相似比为 k，即 求证： 相似三角形对应边上的高的比、对应角的角平分线的比、对应边上的中线的比都等于相似比． 归纳总结 1. △ABC ∽ △A1B1C1 ，BD 和 B1D1 是它们的中线，已知 ，B1D1 = 4 cm，则 BD = cm. 6 2. △ABC ∽ △A1B1C1，AD 和 A1D1 是 BC 和 B1C1边上的高，已知 AB = 8 cm， A1B1 = 3 cm ，则 △ABC 与 △A1B1C1 的对应高之比为 . 8 : 3 练一练 3.如图、电灯 P 在横杆 AB 的正上方，AB 在灯光下的影子为 CD，AB∥CD，AB = 2 m，CD = 4 m，点 P 到 CD 的距离是 3 m，则 P 到 AB 的距离是____m. P A D B C 1.5 变式拓展探究： 如果把角平分线、中线变为对应角的三等分线、四等分线、…n等分线，对应边的三等分线、四等分线、…n等分线，那么它们也具有特殊关系吗？ 类比探究相似三角形对应角平分线的比、对应中线的比。 探究活动三 探究活动三 相似三角形对应角的n等分线的比,对应边的n等分线的比都等于相似比. 例1 如图，AD 是 △ABC 的高，点 P，Q 在 BC 边上，点 R 在 AC 边上，点 S 在 AB 边上，BC = 60 cm，AD = 40 cm，四边形 PQRS 是正方形. (1) AE 是 △ASR 的高吗？为什么？ (2) △ASR 与 △ABC 相似吗？为什么？ (3) 求正方形 PQRS 的边长. S R Q P E D C B A 典例精析 解： AE 是 △ASR 的高. 理由： ∵AD 是 △ABC 的高， ∴ ∠ADC = 90°. ∵四边形 PQRS 是正方形， ∴SR∥BC. ∴∠AER =∠ADC = 90°. ∴ AE 是 △ASR 的高. S R Q P E D C B A (1) AE 是 △ASR 的高吗？为什么？ 是方程思想哦！ 解：∵ △ASR ∽ △ABC，AE、AD分别是 △ASR 和 △ABC 对应边上的高， ∴ .设 PQ = x c