4.4 第4课时 黄金分割 课件 2023—2024学年北师大版数学九年级上册

4.4 探究三角形相似的条件 第四章 图形的相似 第4课时 黄金分割 学习目标 1.知道并理解黄金分割的定义，熟记黄金比； 2.能对黄金分割进行简单运用．（重点、难点） 导入新课 通过观察，你觉得下面那幅图最有美感？ 事物之间的和谐关系可以表现为某种恰当的比例关系. 讲授新课 黄金分割的概念 一 一个五角星如下图所示. 问题：图中有哪些相等的角、相等的线段？ 度量C到点A、B的距离, 与 相等吗？ A C B A B C 6 A B C 点C把线段AB分成两条线段AC和BC,如果 , 那么称线段AB被点C黄金分割.点C叫做线段AB的黄金分割点,AC与AB的比称为黄金比. 概念学习 7 1.计算黄金比. 解：由 ，得AC2 = AB·BC. 设AB = 1，AC = x,则BC = 1 – x. ∴ x2 = 1 ×（1 - x）. 即 x2 + x – 1 = 0. 解方程得：x1= x2= 黄金比 做一做 2.如图所示,已知线段AB按照如下方法作图: 1.经过点B作BD⊥AB,使BD= AB 2.连接AD,在AD上截取DE=DB. 3.在AB上截取AC=AE. 思考：点C是线段AB的黄金分割点吗? A B D E C 9 巴台农神庙 （Parthenom Temple） F C A E B D 想一想：如果把图中用虚线表示的矩形画成如图所示的矩形ABCD，以矩形ABCD 的宽为边在其内部作正方形AEFD，那么我们可以惊奇地发现 ， 点E是AB 的黄金分割点吗？矩形ABCD的宽与长的比是黄金比吗？为什么? 点E是AB的黄金分割点 （即 ）是黄金比 矩形ABCD的宽与长的比是黄金比 宽与长的比等于黄金比的矩形也称为黄金矩形. A B C D E F 例1：在人体躯干与身高的比例上，肚脐是理想的黄金分割点，即比值越接近0.618越给人以美感.小明的妈妈脚底到肚脐的长度与身高的比为0.60，她的身高为1.60m，她应该穿多高的高跟鞋看起来会更美？ 解：设肚脐到脚底的距离为 x m，根据题意，得 ，解得x = 0.96. 设穿上 y m高的高跟鞋看起来会更美，则 解得 y≈0.075，而0.075m=7.5cm. 故她应该穿约为7.5cm高的高跟鞋看起来会更美. 1.在中华经典美文阅读中，小明同学发现自己的一本书的宽与长之比为黄金比，已知这本书的长为20 cm，则它的宽约为( ) (A)12.36 cm (B)13.6 cm (C)32.36 cm (D)7.64 cm 【解析】选A. 0.618×20=12.36(cm). A 练一练 2.如图是一种贝壳的俯视图，点C分线段AB近似于黄金分割，已知AB=10 cm，则AC的长约为_____cm.（结果精确到0.1 cm） 【解析】本题考查黄金分割的有关知识，由题意知 ∴AC2=(10-AC)×10，解得AC≈6.2 cm. 6.2 单击此处编辑母版文本样式 二级 三级 四级 五级 3.如图所示，乐器上的一根弦AB=80 cm，两个端点A、B固定在乐器板面上，支撑点C是靠近点B的黄金分割点，支撑点D是靠近点A的黄金分割点，则AC=______cm，DC=_______cm. 【解析】由黄金分割定义可知， AC=BD= ×AB=(40 -40)cm, AD=AB-BD=(120-40 ) cm, 所以DC=AC-AD=(80 -160) cm. 4. 如图:在△ABC中，AB=AC, ∠BAC=36°， BD平分∠ABC交AC于点D, 求证：D是AC的黄金分割点. 证明：在等腰△ABC中，顶角∠A=36°， 所以∠ABC=∠C=72°， ∵BD为∠ABC的平分线， ∴∠ABD=∠DBC=36°， 在△ACB和△BCD中，∠BDC=72° ∵∠C=∠C，∠A=∠CBD=36°， ∴△ACB∽△BCD， ∴AC：BC=BC：DC； 5.如图，设AB是已知线段，在AB上作正方形ABCD；取AD的中点E，连接EB；延长DA至F，使EF=EB；以线段AF为边作正方形AFGH.点H就是AB的黄金分割点. 解: 设AB=1,那么在 Rt△BAE 中, A B C D E F G H 打开地图，你就会发现那些好茶产地大多位于北纬30度左右。特别是红茶中的极品“祁红”，产地在安徽的祁门，也恰好在此纬