4.4 第2课时 利用两边及夹角判定三角形相似 课件 2023—2024学年北师大版数学九年级上册

4.4 探索三角形相似的条件 第四章 图形的相似 第2课时 利用两边及夹角判定三角形相似 优翼数学教学课件（BS）九上 问题1 有两边对应成比例的两个三角形相似吗? 3 3 5 5 不相似 观察与思考 问题2 类比三角形全等的判定方法（SAS，SSS），猜想可以添加什么条件来判定两个三角形相似？ 3 3 5 5 相似 导入新课 利用刻度尺和量角器画 △ABC 和 △A′B′C′，使 ∠A=∠A′， 量出 BC 及 B′C′ 的长， 它们的比值等于 k 吗？再量一量两个三角形另外的 两个角，你有什么发现？△ABC 与 △A′B′C′ 有何关 系？ 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似 合作探究 两个三角形相似 新课讲授 3 由此得到利用两边和夹角来判定三角形相似的定理： 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似． 符号语言： ∵ ∠A=∠A′， B A C B' A' C' ∴ △ABC ∽ △A′B′C′ . 归纳： 对于 △ABC 和 △A′B′C′，如果 A′B′ : AB = A′C′ : AC. ∠C = ∠C′，这两个三角形一定会相似吗？ 不会，如下图，因为不能证明构造的三角形和原三角形全等. A B C 思考： A′ B′ B″ C′ 结论： 如果两个三角形两边对应成比例，但相等的角不是两条对应边的夹角，那么两个三角形不一定相似，相等的角一定要是两条对应边的夹角. 解：∵ AE = 1.5，AC = 2， 例1 如图，D、E 分别是 △ABC 的边 AC、AB 上的点， AE = 1.5，AC = 2，BC = 3，且 ，求 DE 的长. A C B E D ∴ 又∵∠EAD=∠CAB， ∴ △ADE ∽△ABC. ∴ ∴ 提示：解题时要找准对应边. 7 变式1 如图，D 是 △ABC 一边 BC 上一点，连接 AD，使 △ABC ∽ △DBA 的条件是 ( ) A. AC : BC=AD : BD B. AC : BC=AB : AD C. AB2 = CD · BC D. AB2 = BD · BC D A B C D 8 证明： ∵ CD 是边 AB 上的高， ∴ ∠ADC =∠CDB = 90°. ∴ ∠ACB =∠ACD +∠BCD =∠B +∠BCD = 90°. 变式2 如图，在 △ABC 中，CD 是边 AB 上的高，且 ，求证：∠ACB = 90°． A B C D ∵ 方法总结：解题时需注意隐含条件，如垂直关系，三角形的高等. ∴△ADC ∽△CDB. ∴∠ACD = ∠B. A B C D P P 变式3 如图，已知△ABC 中，D 为边 AC 上一点，P 为边 AB 上一点，AB = 12，AC = 8，AD = 6，当 AP 的长度为 时，△ADP 和 △ABC 相似. 4 或 9 解析：当 △ADP ∽△ACB 时， AP : AB = AD : AC ，即 AP : 12 = 6 : 8 ， 解得 AP = 9； 当 △ADP ∽△ABC 时， AD : AB = AP : AC ，即 6 : 12 = AP : 8 ， 解得 AP = 4. ∴ 当 AP 的长度为 4 或 9 时， △ADP 和 △ABC 相似． 例2 如图，∠DAB =∠CAE，且 AB · AD = AE · AC，求证：△ABC ∽△AED. A B C D E 证明：∵ AB · AD = AE · AC， ∴ _________ ∴∠ DAB +∠BAE =∠CAE +∠BAE ， 即_____________. ∴ △ABC ∽△AED . 又∵∠DAB =∠CAE， 例3 如图，在四边形 ABCD 中，已知 ∠B =∠ACD，AB = 6，BC = 4，AC = 5，CD = ，求 AD 的长． A B C D 解：∵AB = 6，BC = 4，