4.4 第1课时 利用两角判定三角形相似(2) 课件 2023—2024学年北师大版数学九年级上册

4.4 探索三角形相似的条件 第四章 图形的相似 第1课时 利用两角判定三角形相似 1.通过类比相似多边形的定义，能说出相似三角形的定义； 2.通过类比探索全等三角形的条件，探索并发现两角分别相等的两个三角形相似，并能利用这一定理解决相关几何问题. 学习目标 问题1 这两个三角形有什么关系？ 全等三角形 导入新课 那这样变化一下呢？ 相似三角形定义： 三角分别相等、三边成比例的两个三角形叫做相似三角形. 对应角……？ 对应边……？ 问题2 根据相似多边形的定义，你能说说什么叫相似三角形吗？ 全等是一种特殊的相似 2.如图，△ABC与△ADE相似，则： (1)AB的对应边为________， BC的对应边为________； (2)相似比k＝___________. 找对应边的方法2：相等的角所对的边 是对应边. AE DE 2∶1 6 定义 判定方法 全等三角形 相似三角形 三角、三边对应相等的两个三角形全等 三角对应相等，三边对应成比例的两个三角形相似 角边角 ASA 角角边 AAS 边边边 SSS 边角边 SAS 斜边、直角边 HL 问题3 三角形全等的性质和判定方法有哪些？ 需要三个等量条件 思考 全等是一种特殊的相似，猜想一下，判定两个三角形相似需要几个条件？ 问题1 度量 AB，BC，AC，A′B′，B′C′，A′C′ 的长，并计算出它们的比值. 你有什么发现？ C A B A' B' C' 两角分别相等的两个三角形相似 合作探究 与同伴合作，一人画 △ABC，另一人画 △A′B′C′，使∠A =∠A′=45°，∠B =∠B′=30°，探究下列问题： 这两个三角形是相似的 新课讲授 55 判定两个三角形相似的定理1： 两角分别相等的两个三角形相似. ∵ ∠A =∠A'，∠B =∠B'， ∴ △ABC ∽ △A'B'C'. 符号语言： C A B A' B' C' 归纳： 例1 如图，D、E 分别是 △ABC 的边 AB，AC 上的点，DE∥BC， AB = 7，AD = 5，DE = 10，求BC 的长. 解：∵DE∥BC， ∴∠ADE =∠B，∠AED =∠C. ∴△ADE∽△ABC. (两角分别相等的两个三角形相似). ∴ ，即 . ∴BC = 14. B A D E C 典例精析 【相似模型1——A字型或X字型】 10 7.如图，△ABC∽△DEC，∠D＝40°，∠ACB＝80°，BC＝3，AC＝4，CD＝6. (1)∠B＝________； (2)求CE的长. 60° 解：(2)∵△ABC∽△DEC， ∵BC＝3，AC＝4，CD＝6， ∴ . ∴CE＝ . 11 证明： ∵∠BAC = ∠1+∠DAC，∠DAE = ∠3 +∠DAC，∠1=∠3， ∴ ∠BAC = ∠DAE. ∵∠C = 180°－∠2－∠DOC ， ∠E = 180°－∠3－∠AOE， ∠DOC =∠AOE（对顶角相等）， ∴ ∠C =∠E. ∴ △ABC∽△ADE. 例2 如图，∠1 =∠2 =∠3，求证：△ABC ∽△ADE． A B C D E 1 3 2 O 【相似模型2——旋转型】 (2)CD2＝AD·BD. 证明：∵△ACD∽△CBD， ∴CD2＝AD·BD. ∴ ， 13 ∴ 解：∵ ED⊥AB，∴∠EDA = 90°. 又∠C = 90°，∠A =∠A， ∴ △AED ∽△ABC. 例3 如图，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，AB = 10，AC = 8. E 是 AC 上一点，AE = 5，ED⊥AB，垂足为 D. 求 AD 的长. D A B C E ∴ 【相似模型3——斜交型（有公共角）】 A B D C 如图，点 D 在 AB上，当∠ ＝∠ (或 ∠ =∠ )时，△ACD∽△ABC； ACD ACB B ADC 变式 图a b， 图b 图a 图b 图c 图d a a,b,c) d) 归纳总结 双垂直模型 3. 如图，CD是Rt△ABC的高，∠ACB＝90°. 求证：(1)△ACD∽△CBD； 证明：∵∠A＋∠ACD＝90°，∠BCD＋∠ACD＝90°， ∴∠A＝∠BCD. 又∵CD是Rt△ABC的高， ∴∠ADC＝∠CDB＝90°. ∴△ACD∽△CBD. 17 判定直角三角