3.3幂函数 知识总结与题型归纳讲义-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

幂函数知识总结与题型归纳 一、幂函数的图象与概念 1、定义：一般地，函数y＝叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数． 2、幂函数概念的解读：①的系数是1；②的底数x是自变量；③的指数α为常数．（如y＝，y＝，y＝＋1等的函数都不是幂函数．） 3.常用幂函数，，，，的图象如图． 4.常见幂函数的性质，列表如下： 定义域 值域 奇偶性 单调性 公共点 y＝x R R 奇 在R上是增函数 都过(1,1)点 y＝x2 R [0，＋∞) 偶 在(－∞，0)上是减函数；在[0，＋∞)上是增函数 y＝x3 R R 奇 在R上是增函数 y＝x [0，＋∞) [0，＋∞) 非奇 非偶 在[0，＋∞)上是增函数 y＝x－1 (－∞，0)∪(0，＋∞) (－∞，0)∪(0，＋∞) 奇 在(－∞，0)和(0，＋∞)上均是减函数 二、幂函数的性质 1、所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点(1,1)； 2、如果1＞α＞0，那么幂函数的图象过原点，并且在区间[0，＋∞)上沿着x轴正方向单调递增； 3、如果α＞1，那么幂函数的图象过原点，并且在区间[0，＋∞)上沿着y轴正方向单调递增； 4、如果α＜0，那么幂函数的图象在区间(0，＋∞)上单调递减，在第一象限内，当x从右边趋向于原点时，图象在y轴右方无限接近y轴，当x从原点趋向于＋∞时，图象在x轴上方无限接近x轴； 三、对于形如（其中m∈N*，n∈Z，m与n互质）的幂函数 1、当n为偶数时，f(x)为偶函数，图象关于y轴对称； 2、当m，n都为奇数时，f(x)为奇函数，图象关于原点对称； 3、当m为偶数时，（或），是非奇非偶函数，图象只在第一象限（或第一象限及原点处） 题型归纳 考向一 幂函数概念及性质 1（多选）.下列说法不正确的是（ ） A．幂函数的图象都通过两点 B．当时，幂函数的值在定义域内随的增大而减小 C．幂函数的图象不可能出现在第四象限 D．当幂函数的图象是一条直线时，或1 2．已知幂函数f（x）=（a是常数），则（　　） A．的定义域为R B．在上单调递增 C．的图象一定经过点 D．的图象有可能经过点 3．已知幂函数的图像过点，则下列说法正确的是（ ） A．是奇函数，且在上单调递增 B．是偶函数，且在上单调递减 C．既不是奇函数也不是偶函数，且在上单调递增 D．既不是奇函数也不是偶函数，且在上单调递减 4.幂函数的图象过点，则函数的值域是（ ） A． B． C． D． 5．已知幂函数y=f（x）=，其中m∈[–2，2]，m∈Z， ①定区间（0，+∞）的增函数；②对任意的x∈R，都有f（–x）+f（x）=0； 求同时满足①、②两个条件的幂函数f（x）的解析式，并求x∈[0，3]时，f（x）的值域． 变式训练 1.若幂函数的图象过点，则的值域为____________． 2.已知函数，若函数的值域为，则实数的取值范围为_____． 3.幂函数是奇函数，但图象不与坐标轴相交，则n的值可以是（ ） A．3 B．1 C．0 D．–1 4.若幂函数的图象过点（16，8），则的解集为（ ） A．（–∞，0）∪（1，+∞） B．（0，1） C．（–∞，0） D．（1，+∞） 题型二： 幂函数图象的判断及应用 1．如图所示的曲线是幂函数在第一象限的图象，已知，相应曲线对应的值依次为（ ） A． B． C． D． 2．已知幂函数在第一象限内的图象如图所示，则曲线C1、C2、C3、C4的n值可能依次为 A．–2，–，，2 B．2，，–，–2 C．–，–2，2， D．2，，–2，– 3．当时，幂函数的图象不可能经过的象限是 A．第二象限 B．第三象限C．第四象限 D．第二、四象限 变式训练 1.如图是幂函数的部分图像，已知取、、、这四个值，则于曲线相对应的依次为（    ） A． B． C． D． 2.函数的图象是（ ） A．B．C．D． 3.函数y=在[－1, 1]上是 A．增函数且是奇函数 B．增函数且是偶函数 C．减函数且是奇函数 D．减函数且是偶函数 题型三：比较大小 1．设a＝，b＝ ，c＝ ，则a，b，c的大小关系是(　　) A．a>c>b B．a>b>c C．c>a>b D．b>c>a 2.已知，，，则（    ） A． B． C． D． 3.设，则的大小关系是（    ） A． B． C． D