3.3函数的应用-【题型·技巧培优系列】2023-2024学年高一数学同步精讲精练（人教B版2019必修第一册）

3.3 函数的应用 题型1已知一次二次函数模型解决实际问题 2 题型2已知根号函数模型解决实际问题 3 题型3已知分段函数模型解决实际问题 6 题型4自建一次函数模型解决问题 7 题型5自建二次函数模型解决问题 9 题型6自建根号函数模型解决问题 11 题型7自建分段函数模型解决问题 13 题型8自建对钩函数模型解决问题 16 题型9函数模型的选取 17 题型10函数模型的性质 20 知识点一.一次函数模型 1.形如y=kx+b（k=0）的函数模型是一次函数模型． 2.应用一次函数的性质及图像解题时，应注意∶ 一次函数有单调递增（一次项系数为正）和单调递减（一次项系数为负）两种情况；（2）一次函数的图像是一条直线. 知识点二　应用函数模型解决问题的基本过程 1．审题——弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择模型； 2．建模——将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识建立相应的数学模型； 3．求模——求解数学模型，得出数学模型； 4．还原——将数学结论还原为实际问题． 知识点三. 二次函数模型 1.形如y=ax²＋bx+c（a=0）的函数模型是二次函数模型． 2.二次函数模型是重要的数学模型之一，依据实际问题建立二次函数的解析式后，利用配方法求最值简单易懂，有时也可以依据二次函数的性质求最值，从而解决利润最大、用料最省等问题. 知识点四.分段函数模型 这个模型的实质是一次函数、反比例函数（形如y=kx，k=0）、二次函数中两种及以上的综合. 知识点五. 对勾函数模型 这个模型的实质是一次函数与反比例函数（形如y=kx，k=0）模型的综合. 特别提醒 1.依据题意转化为由解析式求函数值或自变量的值； 2.函数解析式中含有参数，需根据题中提供的数据，利用待定系数法求出参数，确定函数解析式，再解决其他问题. 题型1已知一次二次函数模型解决实际问题 【例题1】经市场调查，某种商品在过去50天的销售量和价格均为销售时间t(天)的函数，且销售量近似地满足f(t)＝－2t＋200(1≤t≤50，t∈N)，前30天价格为g(t)＝t＋30(1≤t≤30，t∈N)，后20天价格为g(t)＝45(31≤t≤50，t∈N)． (1)写出该种商品的日销售额S与时间t的函数关系； (2)求日销售额S的最大值． 【变式1-1】1. 某汽车在同一时间内速度v(单位:km/h)与耗油量Q(单位:L)之间有近似的函数关系Q=0.002 5v2-0.175v+4.27,则车速为　　　　　 km/h时,汽车的耗油量最少.  【变式1-1】2. 某商品专营部每天的房租、人员工资等固定成本为300元,已知该商品的进价为3元/件,并规定其销售价格不低于商品进价,且不高于12元/件.该商品日均销售量y(件)与销售单价x(元)的关系如图所示. (1)试求y关于x的函数解析式; (2)当销售单价定为多少元时,该商品每天的利润最大? 【变式1-1】3. （多选）（2022·全国·高一课时练习）（多选）几名大学生创业时经过调研选择了一种技术产品，生产此产品获得的月利润（单位：万元）与每月投入的研发经费（单位：万元）有关.已知每月投入的研发经费不高于16万元，且，利润率.现在已投入研发经费9万元，则下列判断正确的是（    ） A．此时获得最大利润率 B．再投入6万元研发经费才能获得最大利润 C．再投入1万元研发经费可获得最大利润率 D．再投入1万元研发经费才能获得最大利润 【变式1-1】4. （2022·全国·高一专题练习）首届世界低碳经济大会在南昌召开，本届大会以“节能减排，绿色生态”为主题.某单位在国家科研部门的支持下进行技术攻关，采取了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品.已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本 (元)与月处理量 (吨)之间的函数关系可近似的表示为 ，且处理每吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元. (1)该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？ (2)该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则需要国家至少补贴多少元才能使单位不亏损？ 题型2已知根号函数模型解决实际问题 【例题2】据统计,一名工人组装第x件某产品所用的时间(单位:分钟)为f(x)=(a,c为常数).已知该工人组装第4件产品用时30分钟,组装第a件产品用时5分钟,那么c和a的值分别是(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A.75,25 B.75,16 C.60,144 D.60,16 【变式2-1】1. （2023·全国·高一专题练习）核酸检测是新冠肺炎确诊的有效快捷手段.某医院在成为新冠肺炎核酸检测定点医院并开展检测工作的第天，每个检测对象从接受检测到检测报告生成平均