3.4 圆心角（讲+练，4题型）-【划重点】2023-2024学年九年级数学上册同步讲与练（浙教版）

3.4 圆心角 1.经历探索圆的中心对称性和旋转不变性的过程，体会利用旋转来研究圆的性质 2.理解圆心角的概念,掌握圆心角定理 3.理解1的弧的概念,明确圆心角的度数与它所对的弧的度数之间的关系 4.掌握圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系，并会运用它们之间的相互关系解决简单的几何问题 知识点一 圆的旋转不变性 1.圆具有旋转不变性 由于圆上所有的点到圆心的距离都相等，因此把圆绕圆心旋转任意一个角度，所得的图形都和原图形重合 2.中心对称图形 在平面内，把一个图形绕某个点旋转180°,如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形,这个点叫做它的对称中心. 即学即练（2023秋·江苏·九年级专题练习）画一画： 世界上因为有了圆的图案，万物才显得富有生机，以下来自现实生活的图中都有圆：它们看上去多么美丽与和谐，这正是因为圆具有轴对称和中心对称性．    (1)请问图中三个图形中是轴对称图形的有 　　 ，是中心对称图形的有 　 　（分别用三个图的代号、、填空）． (2)请你在图、两个圆中，按要求分别画出与、、图案不重复的图案（草图）（用尺规画或徒手画均可，但要尽可能准确些，美观些）．是轴对称图形但不是中心对称图形；既是轴对称图形又是中心对称图形． 知识点二 圆心角、弦、弦心距之间的关系 1.圆心角 顶点在圆心的角叫做圆心角.如图所示，∠AOB 是一个圆心角 2.圆心角定理 在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦也相等 3. 圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理 在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两个弦心距中有一对量相等,那么它们所对应的其余各对量都相等 注意： (1) “等弧”是指能够重合的弧，只有在同圆或等圆中才有等弧.因为在一个圆中一条弦所对的弧有两条,所以由“弦相等”得出“弧相等”,这里的“弧相等”指的是对应的劣弧与劣弧相等、优弧与优弧相等 (2) 不能忽略“在同圆或等圆中”这个前提，如果丢掉这个前提,即使圆心角相等，所对的弧、弦也不一定相等.如图所示，两个圆的圆心相同，与对应同一个圆心角，但≠，≠. 即学即练1（2022秋·浙江宁波·九年级校考期中）如图，在中，弦与弦相交于点E，且．    求证：． 即学即练2（2022秋·浙江金华·九年级校考期中）如图，已知圆的直径垂直于弦于点，连接并延长交于点，且．证明：是的中点．    知识点三 圆心角的度数与它所对的弧的度数的关系 1.1°的弧 在一个圆中,我们把1°圆心角所对的弧叫做1°的弧 2.圆心角度数与它所对弧的度数的关系 n°的圆心角所对的弧就是n°的弧 (1)相等的弧(即能够重合的弧)与度数相等(或长度相等)的弧的含义是不同的，只有弧的度数和弧的长度都相等的两条弧才是等弧，即等弧一定有相同的度数且等弧必须在同圆或等圆中存在,而相同度数的弧不一定是等弧. (2)圆心角的度数与它所对的弧的度数相等,不能写成∠AOB=,正确写法是∠AOB的度数等于的度数. 即学即练1（2021秋·辽宁盘锦·九年级校考阶段练习）如图，平行四边形ABCD中，以A为圆心，AB为半径的圆分别交AD，BC于F，G，延长BA交圆于E．求证： =． 即学即练2（2020·浙江杭州·九年级期末）如图，已知是的直径，点、为圆上两点，且弧弧，于点，的延长线于点． （1）试说明：； （2）若，，求的面积． 题型一 利用弧、弦、圆心角的关系求解 例1（2023秋·浙江绍兴·九年级校考阶段练习）如图所示，是圆的一条弦，，垂足为，交圆于点C、D．      (1)若，求的度数； (2)若，，求圆的半径长． 举一反三1（2022秋·浙江·九年级专题练习）如图，是的直径，，，，，都是的弦，且，求与的度数． 举一反三2（2022秋·浙江宁波·九年级校联考期中）如图，是的直径，点C为的中点，为的弦，且，垂足为点E，连接交于点G，连接． (1)求证：； (2)若，求的长． 题型二 利用弧、弦、圆心角的关系求证 例2（2020秋·浙江·九年级统考期末）如图，点在上，．求证：．    举一反三1（2023·浙江温州·校考二模）如图，在上依次取点B，A，C使，连接，取的中点D，连接，在弦右侧取点E，使，且，连接．    (1)求证：． (2)若，求的长． 举一反三2（2023·浙江·九年级假期作业）如图，以等边三角形的边为直径作交于，交于，连接．试判断，，之间的大小关系，并说明理由． 题型三 圆心角概念辨析 例3（2023·浙江·九年级假期作业）下列说法正确的是（　　） A．如果一个角的一边过圆心，则这个角就是圆心角 B．圆心角α的取值范围是 C．圆心角就是顶点在圆心，且角的两边是两半径所在的射线的角 D．圆心角就是在圆心的角 举一反三1（2022秋·浙江·九年级专题练习）下