3.3 垂径定理（讲+练，6题型）-【划重点】2023-2024学年九年级数学上册同步讲与练（浙教版）

3.3 垂径定理 1.经历探索圆的轴对称性的过程 2.探索并掌握垂径定理及其逆定理 3.会运用垂径定理及其逆定理解决一些简单的几何问题 知识点一 圆的轴对称性 圆是轴对称图形，每一条过圆心的直线都是它的对称轴 知识点二 垂径定理 1.定理 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧 注意： 垂径定理的条件有两个:一是直径,二是垂直,简称“垂径”. 结论有两条:平分弦，平分弦所对的弧 2.符号语言 3.图形 4.垂径定理相关概念 分一条弧成相等的两条弧的点，叫做这条弧的中点，如图所示，点C和点D分别为和的中点 圆心到圆的一条弦的距离叫做弦心距，如图所示，OE的长就是弦AB的弦心距. 拓展 (1) 定理中的“垂直于弦的直径”可以是直径，可以是半径，也可以是过圆心的直线或线段 (2) 垂径定理揭示了直径、弦、弧三者之间的关系，是证明线段相等、弧相等、两线段垂直的重要依据 (3)由于垂直于弦的直径平分弦,故可以在圆中构造直角三角形利用勾股定理列方程求相关线段的长 5.弦长、弦心距与半径的公式 在垂径定理的运用中，常涉及弦长a,弦心距d,半径r,及弓形高h这四者之间的关系.有两个公式需要熟知并运用： 公式1： 公式2： 即学即练1（2021·浙江杭州·统考二模）⊙O的弦AB的长为8cm，弦AB的弦心距为3 cm，则⊙O的直径为（ ） A．4 cm B．5 cm C．8 cm D．10 cm 即学即练2（2022秋·浙江杭州·九年级校考期中）如图是一个半圆形桥洞的截面示意图，圆心为，直径是河底线，弦是水位线，，米，于点，此时测得． (1)求的长： (2)如果水位以0.4米/小时的速度上升，则经过多长时间桥洞会刚刚被灌满？ 知识点二 垂径定理的逆定理 1.垂径定理的逆定理1 平分弦(不是直径)的直径垂直于弦并且平分弦所对的弧 数学符号语言表述为: 2.垂径定理的逆定理2 平分弧的直径垂直平分弧所对的弦 数学符号语言表述为: 归纳: 一条直线如果具有①经过圆心;②垂直于弦:③平分弦(被平分的弦不是直径)④平分弦所对的优弧;⑤平分弦所对的劣弧，这五条中的任意两条那么必然具备其余的三条.简记“知二推三” 即学即练1（2023秋·浙江台州·九年级校考阶段练习）如图，为的直径，弦于，，，那么弦的长为(    )    A．5 B．10 C．12 D．13 题型一 利用垂径定理求值 例1（2023秋·浙江温州·九年级校联考期中）如图，的半径弦于点E，C是上一点，，的最大值为18，则的长为（    ）    A．8 B．6 C．4 D．2 举一反三1（2023·浙江湖州·统考中考真题）如图，是的半径，弦于点D，连接．若的半径为，的长为，则的长是 ． 举一反三2（2023秋·浙江温州·九年级校联考期中）如图，CD为的直径，弦交CD于点E，将沿弦AB折叠，点C恰好落在OD的中点，若，则弦AB为（    ）    A． B． C． D． 题型二 利用垂径定理求平行弦问题 例2（2022秋·浙江杭州·九年级校考阶段练习）如图，矩形ABCD与圆心在AB上的☉O交于点G，B，F，E， GB =5，EF =4，那么AD = ． 举一反三1（2022·浙江·九年级专题练习）在圆柱形油槽内装有一些油，截面如图所示，已知截面⊙O半径为5cm，油面宽AB为6cm，如果再注入一些油后，油面宽变为8cm，则油面AB上升了（ ）cm A．1 B．3 C．3或4 D．1或7 举一反三2（2020·浙江杭州·模拟预测）如图，A，B，C，D在上，经过圆心O的线段于点F，与交于点E，已知半径为5． （1）若，，求的长； （2）若，且，求弦的长； 题型三 利用垂径定理求同心圆问题 例3（2022秋·浙江杭州·九年级校考阶段练习）如图，在两个同心圆中，大圆的弦与小圆相交于C，D两点． (1)求证：． (2)若，大圆的半径，求小圆的半径r． 举一反三1（2019·浙江杭州·九年级）如图，两个同心圆的半径分别为2和4，矩形的边和分别是两圆的弦，则矩形面积的最大值是 ． 举一反三2（2019秋·浙江台州·九年级统考期末） 如图，一人口的弧形台阶，从上往下看是一组同心圆被一条直线所截得的一组圆弧．已知每个台阶宽度为32cm（即相邻两弧半径相差32cm），测得AB=200cm，AC=BD=40cm，则弧AB所在的圆的半径为 cm 题型四 利用垂径定理求解其他问题 例4（2023秋·浙江·九年级专题练习）如图所示，一圆弧过方格的格点，试在方格中建立平面直角坐标系，使点的坐标为，则该圆弧所在圆的圆心坐标是（　　）    A． B． C． D． 举一反三1（2023秋·浙江·九年级专题练习）垂径定理及其推论反映了圆的重要