3.5 圆周角（讲+练，5题型）-【划重点】2023-2024学年九年级数学上册同步讲与练（浙教版）

3.5 圆周角 1.理解圆周角的概念 2.掌握圆周角定理及其推论,会运用圆周角定理及其推论解决简单的几何问题 3.通过对圆周角定理的证明，了解分类讨论的思想方法 知识点一 圆周角的概念 顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角 圆周角两个特征:①角的顶点必须在圆上②角的两边都与圆相交(相交指的是角两边与圆除了顶点外还有其他公共点)，二者缺一不可 提示： 圆周角与其所对弧的关系:一个圆周角只对着一条弧,而一条弧对着若干个圆周角 即学即练观察下图中角的顶点与两边有何特征？指出哪些角是圆周角？ 知识点二 圆周角定理 圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半 归纳: (1)由于圆心角的度数与它所对的弧的度数相等,因此圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半 (2)圆周角和圆心角存在关系的前提是它们对着同一条弧(存在位置关系),对着同一条弧的圆周角是圆心角的一半(存在数量关系). 即学即练如图，已知A,B均为圆O上一点，若，则的度数为(   ) A． B． C． D． 知识点三 圆周角定理的推论 推论1:半圆(或直径)所对的圆周角是直角;90°的圆周角所对的弦是直径 推论2:在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等;相等的圆周角所对的弧也相等 即学即练（2022秋·浙江杭州·九年级杭州市采荷中学校考阶段练习）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作圆O，交BC于点D，交AC于点E． （1）求证：BD＝CD． （2）若弧DE＝50°，求∠C的度数． 题型一 圆周角的概念辨析 例1（2023秋·浙江·九年级专题练习）下列说法中，正确的是（　　） A．过圆心的直线是圆的直径 B．直径是圆中最长的弦 C．相等长度的两条弧是等弧 D．顶点在圆上的角是圆周角 举一反三1（2021秋·浙江绍兴·九年级校考期中）如图，直线经过的圆心 ，且与交于两点，点在上，且 ，点是直线上的一个动点 (与圆心不重合)， 直线与相交于另一点，如果，则 . 举一反三2（2023秋·浙江·九年级专题练习）如图，△ABC内接于圆，弦BD交AC于点P，连接AD．下列角中，所对圆周角的是（  ） A．∠APB B．∠ABD C．∠ACB D．∠BAC 题型二 圆周角定理 例2（2023秋·浙江温州·九年级校联考期中）如图，的外角的平分线交的外接圆于点E，若，则的度数为 度．    举一反三1（2023秋·浙江温州·九年级萧江二中校考阶段练习）如图，点在上，若，则的度数为(    )    A． B． C． D． 举一反三2（2023秋·浙江温州·九年级校联考期中）如图，点A、B、C在上，若，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 题型三 同弧或等弧所对的圆周角相等 例3（2023秋·浙江绍兴·九年级校考阶段练习）如图，内接于圆O，是圆O的直径，若，则等于(   )    A． B． C． D． 举一反三1（2023秋·浙江宁波·九年级宁波市江北外国语学校校考阶段练习）如图，为的外接圆，半径长为，．    (1)求的长． (2)作的平分线交于点． ①求证：为等边三角形； ②若，求的长． 举一反三2（2023秋·浙江·九年级专题练习）如图是的直径，C，D是上的两点，若，则 ．    题型四 半圆 (直径) 所对的圆周角是直角 例4（2023秋·浙江舟山·九年级校联考期中）已知是的直径，C为上一点，连接，过点O作于D，交弧于点E，连接，交于F．    (1)如图1，求证：． (2)如图2，连接，若，求的长． 举一反三1（2023秋·浙江温州·九年级校联考期中）如图，在中，，D为中点，以为直径作，分别交于点E，F．    (1)求证：； (2)若，，求的长． 举一反三2（2023秋·浙江温州·九年级萧江二中校考阶段练习）如图，已知为的一段弧，请根据要求画出图形．    (1)在图中找出的圆心O，并画出完整的圆（尺规作图，保留作图痕迹）． (2)点A在上，在上找一点P，使得是直角三角形，且 题型五 90度的圆周角所对的弦是直径 例4（2023秋·浙江温州·九年级校联考期中）如图，已知为的一段弧，请根据要求画出图形．    (1)在图中找出的圆心O，并画出完整的圆（尺规作图，保留作图痕迹）． (2)点A在上，在上找一点P，使得是直角三角形，且 举一反三1（2023秋·浙江温州·九年级校联考期中）如图是一个的正方形网格，格点A，B，C均在上，请按要求画图：①仅用无刻度的直尺，且不能用直尺的直角；②保留必要的画图痕迹；③标注相关字母．（图1、图2在答题纸上） (1)在图1中画出所在圆直径． (2)在图2中作，且点E在上． 举一反三2（2023秋·浙江·九年级专题练习）如图所示，四边形内接于，．    求证： (1)； (2)是