第11章 第6节 离散型随机变量及其分布列、数字特征-【优化探究】2024高考数学一轮复习高考总复习配套教参（湘教版 新教材 新高考）

第六节　离散型随机变量及其分布列、数字特征 课程标准　1.通过具体实例，了解离散型随机变量的概念，理解离散型随机变量分布列及其数字特征(均值、方差)． 2．通过具体实例，了解超几何分布及其均值，并能解决简单的实际问题． 授课提示：对应学生用书第236页 知识点一　离散型随机变量 1．随机变量 如果随机试验每一个可能结果e，都唯一地对应一个实数X(e)，则这个随着试验结果不同而变化的变量称为随机变量． 2．离散型随机变量 如果随机变量X的所有取值都可以逐个列举出来，则称X为离散型随机变量． 知识点二　离散型随机变量的分布列 1．一般地，设离散型随机变量X的可能取值为x1，x2，…，xn，其相应的概率为p1，p2，…，pn，记P(X＝xi)＝pi(i＝1,2，…，n)(*) 或把(*)式列成下表 X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 上表或(*)式称为离散型随机变量X的概率分布(简称为X的分布列)． 2．离散型随机变量的分布列的性质 (1)pi≥0，i＝1,2,3，…，n； (2)p1＋p2＋…＋pn＝1. 3．两点分布 如果随机变量X只取值0或1，且其概率分布是P(X＝1)＝p，P(X＝0)＝1－p，p∈(0,1)，则称随机变量X服从两点分布，记作X～B(1，p)． 知识点三　离散型随机变量的数字特征 1．均值 (1)一般地，若离散型随机变量X的分布列为 X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 则称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn为X的均值或数学期望，它刻画了这个离散型随机变量的平均水平． (2)若Y＝aX＋b，a，b为常数，则E(Y)＝aE(X)＋b. (3)①若X～B(1，p)，则E(X)＝p； ②若X～B(n，p)，则E(X)＝np. 2．方差 (1)设离散型随机变量X的分布列为 X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 则D(X)＝E{[X－E(X)]2} ＝(x1－E(X))2p1＋(x2－E(X))2p2＋…＋(xn－E(X))2pn， 称D(X)为随机变量X的方差，用σ2表示，并称为X的标准差，用σ表示． (2)若X～B(1，p)，则D(X)＝p(1－p)． (3)若X～B(n，p)，则D(X)＝np(1－p)． (4)若Y＝aX＋b，a，b为常数，则D(Y)＝a2D(X)． 1．袋中有3个白球、5个黑球，从中任取两个，可以作为随机变量的是(　　) A．至少取到1个白球　　　 B．至多取到1个白球 C．取到白球的个数 D．取到的球的个数 答案：C 2．已知随机变量X的取值为0,1,2.若P(X＝0)＝，E(X)＝1，则D(X)＝(　　) A. B． C. D. 答案：A 3．设随机变量X的分布列为 X 1 2 3 4 5 P p 则p＝________. 答案： 4．(易错题)已知X的分布列为 X －1 0 1 P 设Y＝2X＋3，则E(Y)＝________. 答案： 授课提示：对应学生用书第237页 题型一　离散型随机变量的分布列的概念及性质 例1　设离散型随机变量X的分布列为 X 0 1 2 3 4 P 0.2 0.1 0.1 0.3 m 求η＝|X－1|的分布列． [解]　易知0.2＋0.1＋0.1＋0.3＋m＝1，∴m＝0.3. 由X的分布列可知η＝|X－1|的取值为0,1,2,3， P(η＝0)＝P(X＝1)＝0.1， P(η＝1)＝P(X＝0)＋P(X＝2)＝0.2＋0.1＝0.3， P(η＝2)＝P(X＝3)＝0.3， P(η＝3)＝P(X＝4)＝0.3， ∴η＝|X－1|的分布列为 η 0 1 2 3 P 0.1 0.3 0.3 0.3 　离散型随机变量分布列的性质的应用 1．利用“所有概率之和为1”可以求相关参数的取值范围或值． 2．利用“离散型随机变量在一范围内的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和”求某些特定事件的概率． 3．可以根据性质判断所得分布列结果是否正确． 　若离散型随机变量X的分布列为P(X＝k)＝(1≤k≤5，k∈Z)，则P的值为(　　) A.　　　　　　　 B. C. D. 解析：由题P＝m，，则由离散型随机变量分布列的性质可得P＋P＋…＋P ＝m ＝m＝1，∴m＝. 故P＝＝. 答案：A 题型二　求离散型随机变量的分布列 例2　某校高二年级学生全部参加了居家线上趣味运动会的个人跳绳项目，现从中随机抽取40名学生的跳绳测试成绩，整理数据并按分数段[40,50)，[50,