第7章 第6节 第3课时 利用空间向量研究角度问题 -【优化探究】2024高考数学一轮复习高考总复习配套教参（湘教版 新教材 新高考）

第三课时　利用空间向量研究角度问题 授课提示：对应学生用书第155页 知识点　空间角的求法 1．异面直线所成的角 设a，b分别是两异面直线l1，l2的方向向量，则 a与b的夹角β l1与l2所成的角θ 范围 (0，π) 求法 cos β＝ cos θ＝|cos β|＝ 2.求直线与平面所成的角 设直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，直线l与平面α所成的角为θ，则sin θ＝|cos〈a，n〉|＝. 3．平面与平面所成的角 若平面α，β的法向量分别是n1和n2，则平面α与平面β 所成的角即为向量n1和n2的夹角或其补角．设平面α与平面β所成的夹角为θ，则cos θ＝|cos〈n1，n2〉|＝. 1．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E是C1D1的中点，则异面直线DE与AC夹角的余弦值为________． 答案： 2．已知两平面的法向量分别为m＝(0,1,0)，n＝(0,1,1)，则两平面的夹角为________． 答案：45° 3．正三棱柱(底面是正三角形的直棱柱)ABC­A1B1C1的底面边长为2，侧棱长为2，则AC1与侧面ABB1A1所成的角为________． 答案： 4．二面角的棱上有A，B两点，直线AC，BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB.已知AB＝4，AC＝6，BD＝8，CD＝2，则该二面角的大小为________． 答案：60° 授课提示：对应学生用书第155页 题型一　异面直线所成的角 例1　(2021·全国乙卷)在正方体ABCD­A1B1C1D1中，P为B1D1的中点，则直线PB与AD1所成的角为(　　) A.　　　　　　 B. C. D. [解析]　法一：如图所示，连接BC1，C1P，易知四边形ABC1D1是平行四边形，∴BC1∥AD1，∴∠C1BP(或其补角)就是异面直线AD1与BP所成的角，设正方体的棱长为a，则BC1＝a，PC1＝a，连接AC，BD，设AC交BD于点O，连接OP，则OP⊥平面ABCD，∵OB⊂平面ABCD，∴OP⊥OB，∴PB＝＝a.在△C1BP中， cos∠C1BP＝＝， ∴∠PBC1＝，即直线PB与AD1所成的角为. 法二：以点D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系．设正方体的棱长为2，则A(2,0,0)，B(2,2,0)，D1(0,0,2)，P(1,1,2)． ∴＝(－2,0,2)，＝(1,1，－2)，∴cos〈，〉＝＝－， ∴〈，〉＝， ∴直线PB与AD1所成的角为. [答案]　D 　向量法求异面直线所成角的两种方法及一个注意点 1．两种方法： (1)基向量法：利用线性运算； (2)坐标法：利用坐标运算． 2．一个注意点： 注意向量法求异面直线所成角与向量夹角的区别，尤其是取值范围． 　在直三棱柱ABC­A1B1C1中，∠BCA＝90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC＝CA＝CC1，则BM与AN所成角的余弦值为(　　) A. B. C. D. 解析：建立如图所示空间直角坐标系． 设BC＝CA＝CC1＝2，则可得A(2,0,0)，B(0,2,0)，M(1，1,2)，N(1,0,2)，所以＝(1，－1,2)，＝(－1，0,2)． 所以cos〈，〉＝＝＝＝.答案：C 题型二　直线与平面所成的角 例2　(2021·浙江卷)如图，在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD是平行四边形，∠ABC＝120°，AB＝1，BC＝4，PA＝，M，N分别为BC，PC的中点，PD⊥DC，PM⊥MD. (1)证明：AB⊥PM； (2)求直线AN与平面PDM所成角的正弦值． (1)[证明]　在△CDM中，DC＝1，MC＝2，∠DCM＝60°，则DM＝，所以CD⊥DM. 又因为CD⊥PD，DM∩PD＝D， 所以CD⊥平面PDM，因此CD⊥PM. 又因为AB∥CD，所以AB⊥PM. (2)[解]　法一：连接AC交DM于点E，过E作EF∥AN交PC于点F.过点F作FH∥CD，交PD于H，连接HE. 由(1)知CD⊥平面PDM，所以FH⊥平面PDM. 故∠FEH是直线AN与平面PDM所成的角． 由(1)知PM⊥CD，又已知PM⊥MD，CD∩MD＝D， 所以PM⊥平面ABCD. 连接AM，在平行四边形ABCD中，AM＝，AC＝. 在直角△PMA中，由PA＝，AM＝得PM＝2. 在直角△PMC中，由PM＝2，MC＝2得PC＝2. 在△PAC中，由PA＝，PC＝2，AC＝得AN＝. 在平行四边形ABCD中，＝，所以＝＝， 故EF＝，HF＝， 在直角△FHE中，sin∠FEH＝＝. 因此，直线AN与平面PDM所成角的正弦值为. 法二：如图，以D为原点，分别以射线DM，DC为x，y轴的正半轴，建立空间直角坐标系