第7章 第6节 第2课时 利用空间向量研究距离问题-【优化探究】2024高考数学一轮复习高考总复习配套教参（湘教版 新教材 新高考）

第二课时　利用空间向量研究距离问题 授课提示：对应学生用书第152页 知识点　空间距离的向量求法 1．点到直线的距离 2．点到平面的距离 3．两平行线间的距离 4．两平行平面间的距离 1．空间内有三点A(2,1,3)，B(0,2,5)，C(3,7,0)，则点B到AC的中点P的距离为(　　) A.　　　　　　　 B．5 C. D．3 答案：C 2．在空间直角坐标系中，平面OAB的一个法向量为n＝(2，－2,1)，已知点P(－1,3,2)，则点P到平面OAB的距离d等于(　　) A．4 B．2 C．3 D．1 答案：B 3．在四棱锥P­ABCD中，＝(4，－2,3)，＝(－4,1,0)，＝(－6,2，－8)，则这个四棱锥的高h等于(　　) A．1 B．2 C．13 D．26 答案：B 4．两平行平面α，β分别经过点O(0,0,0)和点A(2,1,1)，且两平面的一个法向量n＝(－1,0,1)，则两平面间的距离是________． 解析：两平行平面α，β分别经过坐标原点O和点A(2,1,1)，＝(2,1,1)，且两平面的一个法向量n＝(－1，0,1)，所以两平面间的距离d＝＝＝. 答案： 授课提示：对应学生用书第153页 题型一　点到直线的距离 例1　在棱长为2的正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别是C1C，D1A1的中点，求点A到直线EF的距离． [解]　法一：以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图． 则A(2,0,0)，E(0,2,1)，F(1,0,2)，＝(1，－2,1)，＝(1,0，－2)． 所以||＝＝，·＝1×1＋0×(－2)＋(－2)×1＝－1， 所以在上的投影向量的模为＝ . 所以点A到直线EF的距离 d＝ ＝＝. 法二：以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图， 则A(2,0,0)，E(0,2,1)，F(1,0,2)， ＝(1，－2,1)，设点G(x，y，z)， 且满足＝λ，⊥，则＝(x，y－2，z－1)＝λ(1，－2,1)＝(λ，－2λ，λ)，所以G(λ，2－2λ，1＋λ)， 所以＝(λ－2,2－2λ，1＋λ)，由·＝0得，λ＝，＝， ||＝ ＝. 即点A到直线EF的距离为. 　用向量法求点到直线的距离的一般步骤 1．建立空间直角坐标系． 2．求直线的单位方向向量． 3．求所求点与直线上某一点所构成的向量． 4．代入点线距公式求距离． 　在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AA1＝1，AD＝2，AB＝4，E是AC的中点，则D1E＝________，点A到D1C的距离为________． 解析：建系如图，则A(2,0,0)，D1(0,0,1)，C(0,4,0)，E(1,2,0)，＝(0,4，－1)，＝(1,2，－1)，所以||＝，所以D1E＝. 设F(x，y，z)满足＝λ，⊥，所以＝(x，y，z－1)＝λ(0,4，－1)＝(0,4λ，－λ)，所以F(0,4λ，1－λ)，＝(－2,4λ，1－λ)，由·＝0得，λ＝，＝， 所以||＝，即点A到D1C的距离为. 答案：　 题型二　点到平面的距离 例2　如图所示的多面体是由底面为ABCD的长方体被截面AEC1F所截而得到的，其中AB＝4，BC＝2，CC1＝3，BE＝1. (1)求BF的长； (2)求点C到平面AEC1F的距离． [解]　(1)建立如图所示的空间直角坐标系，则 D(0,0,0)，B(2,4,0)，A(2,0,0)，C(0,4,0)，E(2,4,1)，C1(0,4,3)．设F(0,0，z)．∵四边形AEC1F为平行四边形，由＝，得(－2,0，z)＝(－2,0,2)， ∴z＝2，∴F(0,0,2)， ∴＝(－2，－4,2)，于是||＝2，即BF＝2. (2)设n为平面AEC1F的一个法向量，设n＝(x，y,1)，＝(0,4,1)，＝(－2，0,2)， 由 得 即 ∴ ∴n＝. 又＝(0,0,3)， ∴点C到平面AEC1F的距离为d＝＝ ＝. 　1.利用点到平面的距离的定义求解，只需作出点在平面内的射影，然后求垂线段的长即可． 2．用向量法求点到平面的距离的方法：求出平面的一个法向量n的坐标，再求出已知点P与平面内任一点M构成的向量的坐标，那么P到平面的距离d＝||·|cos〈n，〉|＝. 　已知ABCD是边长为4的正方形，E，F分别是AB，AD的中点，CG垂直于ABCD所在的平面，且CG＝2，求点B到平面EFG的距离． 解：如图建立空间直角坐标系，则＝(－2，－4，－2)，＝(－4，－2，－2)，＝(－2,0,0)． 设平面EFG的法向量为n＝(x，y，z)， 由·n＝0，·n＝0， 得 取x＝－1， 则n＝(－1，－1,3)，于