第7章 第6节 第1课时 利用空间向量研究直线、平面的位置关系-【优化探究】2024高考数学一轮复习高考总复习配套教参（湘教版 新教材 新高考）

第六节　空间向量的应用 课程标准　1.理解直线的方向向量与平面的法向量．　2.能用向量语言表述线线、线面、面面的垂直、平行关系．　3.能用向量方法证明有关线、面位置关系的一些定理．　4.能用向量方法解决线线、线面、面面的距离与夹角的计算问题，体会向量方法在研究几何问题中的应用． 第一课时　利用空间向量研究直线、平面的位置关系 授课提示：对应学生用书第149页 知识点　空间向量的有关概念与向量表示 1．直线的方向向量与平面的法向量 直线的方向向量 如果非零向量v与直线l平行，就称v为l的方向向量 平面的法向量 如果非零向量n所在直线与平面α垂直，则称n为平面α的法向量 2.空间位置关系的向量表示 位置关系 向量表示 直线l1，l2的方向向量分别为n1，n2 l1∥l2 n1∥n2⇔n1＝λn2 l1⊥l2 n1⊥n2⇔n1·n2＝0 直线l的方向向量为n，平面α的法向量为m l∥α n⊥m⇔m·n＝0 l⊥α n∥m⇔n＝λm 平面α，β的法向量分别为n，m α∥β n∥m⇔n＝λm α⊥β n⊥m⇔m·n＝0 1．若直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，能使l∥α的是(　　) A．a＝(1,0,0)，n＝(－2,0,0) B．a＝(1,3,5)，n＝(1,0,1) C．a＝(0,2,1)，n＝(－1,0，－1) D．a＝(1，－1,3)，n＝(0,3,1) 答案：D 2．(易错题)已知平面α，β的法向量分别为n1＝(2,3,5)，n2＝(－3,1，－4)，则(　　) A．α∥β　　　　　　　　 B．α⊥β C．α，β相交但不垂直 D．以上均不对 答案：C 3．空间中三点A(0,1,0)，B(2,2,0)，C(－1,3,1)，则平面ABC的一个法向量为________． 答案：(1，－2,5)(答案不唯一) 4．设u，v分别是平面α，β的法向量，u＝(－2,2,5)，当v＝(3，－2,2)时，α与β的位置关系为____________________；当v＝(4，－4，－10)时，α与β的位置关系为____________________． 答案：α⊥β　α∥β 授课提示：对应学生用书第149页 题型一　利用空间向量证明平行问题 例1　在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝4，AD＝3，AA1＝2，P，Q，R，S分别是AA1，D1C1，AB，CC1的中点．求证：PQ∥RS. [证明]　法一：以点D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则P(3,0,1)，Q(0，2,2)，R(3,2,0)，S(0,4,1)， ＝(－3,2,1)，＝(－3,2,1)，∴＝， ∴∥， 即PQ∥RS. 法二：＝＋ ＝－＋， ＝＋ ＝＋－， ∴＝， ∴∥， 即PQ∥RS. 　利用向量法证明平行问题的两种途径 1．利用三角形法则和平面向量基本定理实现向量间的相互转化，得到向量的共线关系． 2．通过建立空间直角坐标系，借助直线的方向向量和平面的法向量进行平行关系的证明． 　已知正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为2，E，F分别是BB1，DD1的中点，求证： (1)FC1∥平面ADE； (2)平面ADE∥平面B1C1F. 证明：(1)建立如图所示空间直角坐标系，则有D(0,0,0)，A(2，0,0)，C1(0,2,2)，E(2,2,1)，F(0，0,1)，B1(2,2,2)，所以＝(0,2,1)，＝(2,0,0)，＝(0,2,1)． 设n1＝(x1，y1，z1)是平面ADE的一个法向量， 则n1⊥，n1⊥， 即 得 令z1＝2，则y1＝－1， 所以n1＝(0，－1,2)． 因为·n1＝－2＋2＝0，所以⊥n1. 又因为FC1⊄平面ADE， 所以FC1∥平面ADE. (2)因为＝(2,0,0)， 设n2＝(x2，y2，z2)是平面B1C1F的一个法向量． 由n2⊥，n2⊥，得 得 令z2＝2，得y2＝－1，所以n2＝(0，－1,2)， 因为n1＝n2，所以平面ADE∥平面B1C1F. 题型二　利用空间向量证明垂直问题 例2　如图，在四棱锥P­ABCD中，PC⊥平面ABCD，PC＝2，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠BCD＝90°，AB＝4，CD＝1，点M在PB上，PB＝4PM，PB与平面ABCD所成的角为30°.求证： (1)CM∥平面PAD； (2)平面PAB⊥平面PAD. [证明]　以点C为坐标原点，分别以CB，CD，CP所在的直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz. ∵PC⊥平面ABCD， ∴∠PBC为PB与平面ABCD所成的角． ∴∠PBC＝30°.∵PC＝2，∴BC＝2，PB＝4. ∴D(0,1,0)，B