第7章 第4节 空间直线、平面的垂直-【优化探究】2024高考数学一轮复习高考总复习配套教参（湘教版 新教材 新高考）

第四节　空间直线、平面的垂直 课程标准　1.从定义和基本事实出发，借助长方体，通过直观感知，了解空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系，归纳出判定定理．　2.从定义和基本事实出发，借助长方体，通过直观感知，了解空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系，归纳出性质定理，并加以证明．　3.能够对线线、线面、面面垂直进行相互转化，会解决与垂直有关的综合问题． 授课提示：对应学生用书第140页 知识点一　直线与平面垂直 1．直线与平面垂直的定义 如果直线l与平面α相交，并且垂直于这个平面内的所有直线，那么就称直线l与平面α垂直． 2．判定定理与性质定理 文字语言 图形表示 符号表示 判定 定理 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直 若a⊂α，b⊂α，l⊥a，l⊥b，a∩b＝A，则l⊥α 性质 定理 垂直于同一个平面的两条直线平行 若a⊥α，b⊥α，则a∥b 知识点二　平面与平面垂直 1．平面与平面垂直的定义 两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直． 2．判定定理与性质定理 文字语言 图形表示 符号表示 判定 定理 如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直 若l⊥α，l⊂β，则α⊥β 性质 定理 两个平面垂直，如果一个平面内有一条直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直 ⇒ l⊥α 3.直线和平面所成的角 (1)平面的一条斜线和它在该平面上的投影所成的锐角，叫作这条直线与这个平面所成的角． (2)当直线与平面垂直和平行(或直线在平面内)时，规定直线和平面所成的角分别为90°和0°. 4．二面角 (1)二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫作二面角； (2)二面角的平面角：在二面角α­l­β的棱l上任取一点O，以点O为垂足在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫作二面角的平面角． (3)二面角α的范围：[0°，180°]． 1．若平面α，β满足α⊥β，α∩β＝l，P∈α，P∉l，则下列命题中是假命题的为(　　) A．过点P垂直于平面α的直线平行于平面β B．过点P垂直于直线l的直线在平面α内 C．过点P垂直于平面β的直线在平面α内 D．过点P且在平面α内垂直于l的直线必垂直于平面β 答案：B 2．(2023·唐山模拟)如图，在以下四个正方体中，直线AB与平面CDE垂直的是(　　) A．①②　　　　　　　　 B．②④ C．①③ D．②③ 答案：B 3．(易错题)(2023·石家庄模拟)若l，m是两条不重合的直线，m垂直于平面α，则“l∥α”是“l⊥m”的(　　) A．充分不必要条件　　 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案：A 4．如图，在三棱锥V­ABC中，∠VAB＝∠VAC＝∠ABC＝90°，则异面直线BC与VA所成的角为________，二面角C­VB­A的大小为________． 答案：　 授课提示：对应学生用书第141页 题型一　垂直关系的基本问题 例1　(1)设l，m是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，以下说法正确的是(　　) A．若l⊥m，m∥α，则l⊥α B．若l∥β，α⊥β，则l⊥α C．若l⊥m，m⊥β，α⊥β，则l⊥α D．若l⊥β，m⊥β，m⊥α，则l⊥α (2)在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E为棱CD的中点，则(　　) A．A1E⊥DC1　　　　　 B．A1E⊥BD C．A1E⊥BC1 D．A1E⊥AC [解析]　(1)如图，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，对于A，设A1D1为m，平面ABCD为α，A1B1为l，则l∥α与l⊥α矛盾． 对于B，设平面DCC1D1为β，此时平面ABCD为α，则l∥α，与l⊥α矛盾． 对于C，平面ABCD为α，平面DCC1D1为β，A1D1为m，A1B1为l，则l∥α与l⊥α矛盾． 对于D，⇒⇒l⊥α. (2)由正方体的性质，得A1B1⊥BC1，B1C⊥BC1，A1B1∩B1C＝B1，所以BC1⊥平面A1B1CD.又A1E⊂平面A1B1CD，所以A1E⊥BC1. [答案]　(1)D　(2)C 　与线面垂直关系有关命题真假的判断方法 1．借助几何图形来说明线面关系要做到作图快、准，甚至不需要作图，通过空间想象来判断． 2．寻找反例，只要存在反例，结论就不正确． 3．反复验证所有可能的情况，必要时要运用判定或性质定理进行简单说明． 　(多选)(2021·新高考Ⅰ卷)在正三棱柱ABC­A1B1C1中，AB＝AA1＝1，点P满足＝λ＋μ，其中λ∈[0,1]，μ∈[0,1]，则(　　) A．当λ＝1时，△AB1P的周长为