第7章 第1节 立体图形及其直观图、简单几何体的表面积与体积-【优化探究】2024高考数学一轮复习高考总复习配套教参（湘教版 新教材 新高考）

第一节　立体图形及其直观图、简单几何体的表面积与体积 课程标准　1.利用实物、计算机软件等观察空间图形，认识柱、锥、台、球及简单组合体的结构特征，能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构．　2.能用斜二测画法画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱及简单组合体)的直观图．　3.知道球、棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积的计算公式，能用公式解决简单的实际问题． 授课提示：对应学生用书第129页 知识点一　简单几何体 1．简单多面体的结构特征 (1)棱柱的侧棱都平行且相等，上下底面是全等的多边形； (2)棱锥的底面是任意多边形，侧面是有一个公共点的三角形； (3)棱台可由平行于棱锥底面的平面截棱锥得到，其上下底面是相似多边形． 2．简单旋转体的结构特征 (1)圆柱可以由矩形(及其内部)绕其一条边所在直线旋转一周得到； (2)圆锥可以由直角三角形(及其内部)绕其一条直角边所在直线旋转一周得到； (3)圆台可以由直角梯形(及其内部)绕其垂直于底边的腰所在直线旋转一周得到； (4)球可以由半圆(及其内部)绕其直径所在直线旋转一周得到． 知识点二　直观图 1．画法 常用斜二测画法． 2．(1)在已知图形中取水平平面，取互相垂直的轴Ox，Oy轴，再取Oz轴，使∠xOz＝90°且∠yOz＝90°. (2)画直观图时，把它们画成对应的轴O′x′，O′y′，O′z′使∠x′O′y′＝45°(或135°)，∠x′O′z′＝90°，x′O′y′所确定的平面表示水平平面． (3)已知图形中平行于x轴，y轴或z轴的线段，在直观图中分别画成平行于x′轴，y′轴或z′轴的线段； (4)已知图形中平行于x轴或z轴的线段，在直观图中保持长度不变，平行于y轴的线段，长度取原来的一半． 知识点三　柱、锥、台和球的面积和体积 1．柱、锥、台和球的侧面积和体积 侧面积 体积 圆柱 S侧＝2πrh V＝Sh＝πr2h 续表 侧面积 体积 圆锥 S侧＝πrl V＝Sh＝πr2h ＝πr2 圆台 S侧＝π(r1＋r2)l V＝(S上＋S下＋)h ＝π(r＋r＋r1r2)h 直棱柱 S侧＝Ch V＝Sh 正棱锥 S侧＝Ch′ V＝Sh 正棱台 S侧＝(C＋C′)h′ V＝(S＋＋S′)h 球 S球面＝4πR2 V＝πR3 2.几何体的表面积 (1)棱柱、棱锥、棱台的表面积就是各面面积之和； (2)圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是矩形、扇形、扇环，它们的表面积等于侧面积与底面面积之和； (3)长方体的长、宽、高分别为a，b，c，则体对角线长为. 1．如图，长方体ABCD­A′B′C′D′中被截去一部分，其中EH∥A′D′，剩下的几何体是(　　) A．棱台　　B．四棱柱　　C．五棱柱　　D．六棱柱 答案：C 2．如图，矩形O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O′A′＝6，O′C′＝2，则原图形OABC的面积为(　　) A．24 B．12 C．48 D．20 答案：A 3．体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为(　　) A．12π B.π C．8π D．4π 答案：A 4．(易错题)如图，将一个长方体用过相邻三条棱的中点的平面截出一个棱锥，则该棱锥的体积与剩下的几何体体积的比为________． 答案：1∶47 5.母线长为5的圆锥的侧面展开图的圆心角等于，则该圆锥的底面圆的半径为__________，体积为__________． 解析：设该圆锥的底面圆的半径为r，高为h， ∵母线长为5的圆锥的侧面展开图的圆心角等于， ∴侧面展开图的弧长为5×＝8π. 又弧长＝底面周长， 即8π＝2πr，∴r＝4， ∴圆锥的高h＝＝3， ∴圆锥的体积V＝×π×42×3＝16π. 答案：4　16π 授课提示：对应学生用书第130页 题型一　空间几何体的结构特征 例1　(多选)下列说法正确的是(　　) A．以直角三角形的一条边所在的直线为轴，其余两边旋转形成的曲面围成的几何体是圆锥 B．以等腰三角形底边上的中线所在的直线为轴，将三角形旋转形成的曲面围成的几何体是圆锥 C．经过圆锥任意两条母线的截面是等腰三角形 D．圆锥的母线长有可能大于圆锥底面圆的直径 [解析]　A不正确，直角三角形绕斜边所在直线旋转得到的旋转体不是圆锥；B正确，以等腰三角形底边上的中线所在直线为轴，将三角形旋转形成的曲面围成的几何体是圆锥；C正确，因为圆锥的母线长都相等，所以经过圆锥任意两条母线的截面是等腰三角形；易知D正确． [答案]　BCD 　空间几何体概念辨析题的常用方法 定义法 紧扣定义，由已知构建几何模型，在条件不变的情况下，变换模型中的线面关系或增加线、面等基本元素，根据定义进行判定 反例法 通过反例对